lim (x, y) (0,0) 2 x y^4x^4+y^6

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) 2,x,y^4x^4+y^6
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e o que precisamos usar é o teste de caminhos: se o limite existir, o valor obtido ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho deve ser o mesmo.

Passo 2

Vamos primeiro checar caminhos simples, como as retas coordenadas:
  1. Se tomarmos x=0, então
2cdot0cdot y^40^4 + y^6 = 0,
e aproximando yto0 temos limite 0.
  1. Se tomarmos y=0, então
2,xcdot0^4x^4 + 0^6 = 0,
e aproximando xto0 temos limite 0.
Até aqui o valor é 0.

Passo 3

Agora tentamos um caminho que torne os termos do denominador da mesma ordem de grandeza. Observe que x^4 e y^6 ficam iguais em ordem se escolhermos
x = |y|^3/2
Nesse caso,
x^4 = l(|y|^3/2r)^4 = |y|^6,
e substituindo na função:
2,x,y^4x^4 + y^6 = 2,|y|^3/2,y^4|y|^6 + y^6 = 2,|y|^3/2+42,|y|^6 = 2,|y|^11/22,|y|^6 = |y|^-1/2
Ao fazermos yto0, esse valor tende a +infty.

Passo 4

Como pelo caminho x=0 e y=0 o limite é 0, mas pelo caminho x=|y|^3/2 o valor tende a +infty, concluímos que não há um único valor que a função aproxime ao chegar em (0,0). Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados