Questão 4: Utilizando eventualmente coordendas polares, calcule o volume do sólido a seguir. O śolido é contido no primeiro octante abaixo do paraboloide
, entre o plano
e o plano de coordenadas
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que, no primeiro octante, fica abaixo do paraboloide
e está “entre” o plano de coordenadas
(eixo
) e o plano
. Para calcular o volume, vamos usar um integral tripla em coordenadas polares, pois a simetria circular do paraboloide facilita muito.
Passo 2
Projetando o sólido no plano
, vemos que a base é
Em coordenadas polares
isso vira
E em
, para cada
, vai de
até
Passo 3
O volume é
Primeiro integramos em
:
então sobra em
e
:
Passo 4
Agora calculamos a integral em
:
Fica então
Resposta
O volume do sólido é
.