Questão 4: Utilizando eventualmente coordendas polares, calcule o volume do sólido a seguir. O śolido é contido no primeiro octante abaixo do paraboloide z=8-2 x^2-2 y^2, entre o plano y=x e o plano de coordenadas x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, no primeiro octante, fica abaixo do paraboloide
z = 8 - 2x^2 - 2y^2
e está “entre” o plano de coordenadas x=0 (eixo y) e o plano y=x. Para calcular o volume, vamos usar um integral tripla em coordenadas polares, pois a simetria circular do paraboloide facilita muito.

Passo 2

Projetando o sólido no plano xy, vemos que a base é
R = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=4,;0<= x<= y
Em coordenadas polares (x=rcostheta,;y=rsintheta) isso vira
0<= r<=2, pi4<=theta<=pi2
E em z, para cada (r,theta), vai de z=0 até
z = 8 - 2r^2

Passo 3

O volume é
integraltheta=pi/4^pi/2integralr=0^2integralz=0^,8-2r^2 r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
integral0^8-2r^2dz = 8 - 2r^2,
então sobra em r e theta:
integralpi/4^pi/2integral0^2 (8-2r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral em r:
integral0^2(8r - 2r^3),dr = l[4r^2 - tfrac12r^4r]0^2 = (4cdot4 - tfrac12cdot16) =16 - 8 =8
Fica então
integralpi/4^pi/28,dtheta =8l[thetar]pi/4^pi/2 =8l(pi2 - pi4r) =8cdotpi4 =2pi

Resposta

O volume do sólido é 2pi.

Exercícios relacionados