Questão 5: Calcule a integral trocando a ordem de integração
integral0^raizpi(integraly^raizpi sen(x^2) d x) d y
Todas as respostas precisam ser justificadas!!! Bom trabalho!

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^raizpil(integraly^raizpisenl(x^2r),dxr),dy
e pede para calcular trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é reconhecer a região de integração no plano xy e reescrever a integral invertendo as variáveis.

Passo 2

Descriminamos a região D por
0 <= y <= raizpi, y <= x <= raizpi
Isto significa que, para cada y em [0,raizpi], x vai de y até raizpi.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos que x mínimo ocorre em x=0 e máximo em x=raizpi, e que, para cada x fixo, y varia de 0 até x. Assim a integral fica
integralx=0^raizpil(integraly=0^xsenl(x^2r),dyr),dx

Passo 4

Como senl(x^2r) independe de y, a integral interna é
integral0^xsenl(x^2r),dy = senl(x^2r),l[yr]0^x = x,senl(x^2r)
Logo a integral reduz-se a
integral0^raizpix,senl(x^2r),dx

Passo 5

Para calcular
integral0^raizpix,senl(x^2r),dx
fazemos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,du. Os limites passam de x=0mapsto u=0 e x=raizpimapsto u=pi. A integral vira
12integral0^pisen(u),du

Passo 6

Calculamos
12integral0^pisen(u),du = 12l[-cos(u)r]0^pi = 12l[-cos(pi)+cos(0)r] = 12l[-(-1)+1r] =1

Resposta

O valor da integral é 1.

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