1. Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
    (a) y^prime=y^2
    (b) x y^prime=y
    (c) y y^prime=x
    (d) y^prime=(1-y)(2-y)
    (e) y^prime=e^x-2 y
    (f) x^2 y^2 y^prime=1+x^2
    (g) y^prime=sec ^2 x sec ^3 y
    (h) y^prime=y ln x
    (i) 3 x^2 y^prime=2 y(y-3)
    (j) y^prime=3 x^2+4 x+22(y-1)
    (k) y^prime=y cos x1+2 y^2
    (l) y^prime=x^2y
    (m) y^prime=x^2y(1+x^3)
    (n) y^prime+y^2 sen x=0
    (o) y^prime=1+x+y^2+x y^2
    § y^prime=(cos ^2 x)(cos ^2 2 y)
    (q) x y^prime=raiz1-y^2
    ® y^prime=x-e^-xy+e^y
    (s) y^prime=x^21+y^2
    (t) y^prime=2 x1+2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as soluções gerais de diversas equações diferenciais de variáveis separáveis, ou seja, de equações da forma
dydx=f(x),g(y),
aplicando a técnica de separação de variáveis e integração de ambos os lados.

Passo 2

A estratégia é sempre a seguinte: dado
dydx=f(x),g(y),
escrevemos
1g(y),dy=f(x),dx,
e então integramos em cada membro:
integral1g(y),dy=integral f(x),dx + C
Por fim, isolamos y (quando possível) para obter a forma explícita da solução geral.

Passo 3

Aplicando esse procedimento a cada caso, obtemos as seguintes relações implícitas ou explícitas:
(a) y' = y^2
integral y^-2dy=integral dx ;Longrightarrow; -1y=x+C ;Longrightarrow; y=-1x+C
(b) x,y'=y
integral1ydy=integral1xdx ;Longrightarrow; ln|y|=ln|x|+C ;Longrightarrow; y=Kx
(c) y,y'=x
integral y,dy=integral x,dx ;Longrightarrow; y^22=x^22+C ;Longrightarrow; y^2=x^2+C' ;Longrightarrow; y=pmraizx^2+C'
(d) y'=(1-y)(2-y)
integraldy(1-y)(2-y)=integral dx ;Longrightarrow; lnl|tfrac2-y1-yr|=x+C ;Longrightarrow; y=2-Ke^x1-Ke^x
(e) y'=e^x-2y
integral e^2ydy=integral e^x dx ;Longrightarrow; e^2y2=e^x+C ;Longrightarrow; y=tfrac12lnl(2e^x+C'r)
(f) x^2y^2y'=1+x^2
integral y^2dy=integrall(1x^2+1r)dx ;Longrightarrow; y^33=x-1x+C ;Longrightarrow; y=l(3x-tfrac3x+C'r)^1/3
(g) y'=sec^2x,sec^3y
integralcos^3y,dy=integralsec^2x,dx ;Longrightarrow; sin y-tfracsin^3y3=tan x+C
(h) y'=yln x
integral1ydy=integralln x,dx ;Longrightarrow; ln|y|=xln x-x+C ;Longrightarrow; y=C e^,xln x -x=Cx^xe^x
(i) 3x^2y'=2y(y-3)
integraldyy(y-3)=integral23x^2dx ;Longrightarrow; lnl|tfracy-3yr|=-2x+C ;Longrightarrow; y-3y=Ke^-2/x
(j) y'=3x^2+4x+22(y-1)
integral2(y-1)dy=integral(3x^2+4x+2)dx ;Longrightarrow; y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C
(k) y'=ycos x1+2y^2
integrall(tfrac1y+2yr)dy=integralcos x,dx ;Longrightarrow; ln|y|+y^2=sin x+C
(l) y'=x^2y
integral y,dy=integral x^2dx ;Longrightarrow; y^22=x^33+C ;Longrightarrow; y=pmraiztfrac2x^33+C'
(m) y'=x^2y(1+x^3)
integral y,dy=integralx^21+x^3dx ;Longrightarrow; y^22=13ln|1+x^3|+C ;Longrightarrow; y=pmraiztfrac23ln|1+x^3|+C'
(n) y'+y^2sin x=0
integral y^-2dy=integral -sin x,dx ;Longrightarrow; -1y=cos x+C ;Longrightarrow; y=1C'-cos x
(o) y'=1+x+y^2+xy^2=(1+x)(1+y^2)
integraldy1+y^2=integral(1+x),dx ;Longrightarrow; arctan y=x+x^22+C ;Longrightarrow; y=tanl(x+tfracx^22+Cr)
§ y'=cos^2x;cos^2(2y)
integralsec^2(2y),dy=integralcos^2x,dx ;Longrightarrow; tan(2y)2=x2+sin(2x)4+C
(q) x,y'=raiz1-y^2
integraldyraiz1-y^2=integraldxx ;Longrightarrow; arcsin y=ln|x|+C ;Longrightarrow; y=sinl(ln|x|+Cr)
® y'=x-e^-xy+e^y
integrall(y+e^yr)dy=integrall(x-e^-xr)dx ;Longrightarrow; y^22+e^y=x^22+e^-x+C
(s) y'=x^21+y^2
integral(1+y^2)dy=integral x^2dx ;Longrightarrow; y+y^33=x^33+C
(t) y'=2x1+2y
integral(1+2y),dy=integral2x,dx ;Longrightarrow; y+y^2=x^2+C

Resposta

(a) y=-1x+C
(b) y=Kx
(c) y=pmraizx^2+C
(d) y=2-Ke^x1-Ke^x
(e) y=tfrac12lnl(2e^x+Cr)
(f) y=l(3x-tfrac3x+Cr)^1/3
(g) sin y-tfracsin^3y3=tan x+C
(h) y=C,x^xe^x
(i) y-3y=Ke^-2/x
(j) y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C
(k) ln|y|+y^2=sin x+C
(l) y=pmraiztfrac2x^33+C
(m) y=pmraiztfrac23ln|1+x^3|+C
(n) y=1C-cos x
(o) y=tan!l(x+tfracx^22+Cr)
§ tan(2y)=x+tfracsin2x2+C
(q) y=sin!l(ln|x|+Cr)
® y^22+e^y=x^22+e^-x+C
(s) y+y^33=x^33+C
(t) y+y^2=x^2+C

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