- Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(s)
(t)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(s)
(t)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as soluções gerais de diversas equações diferenciais de variáveis separáveis, ou seja, de equações da forma
aplicando a técnica de separação de variáveis e integração de ambos os lados.
Passo 2
A estratégia é sempre a seguinte: dado
escrevemos
e então integramos em cada membro:
Por fim, isolamos
(quando possível) para obter a forma explícita da solução geral.
Passo 3
Aplicando esse procedimento a cada caso, obtemos as seguintes relações implícitas ou explícitas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y'=e^x-2y
(f)
x^2y^2y'=1+x^2
(g)
y'=sec^2x,sec^3y
(h)
y'=yln x
(i)
3x^2y'=2y(y-3)
(j)
y'=3x^2+4x+22(y-1)
(k)
y'=ycos x1+2y^2
(l)
y'=x^2y
(m)
y'=x^2y(1+x^3)
(n)
y'+y^2sin x=0
(o)
y'=1+x+y^2+xy^2=(1+x)(1+y^2)
§
y'=cos^2x;cos^2(2y)
(q)
x,y'=raiz1-y^2
®
y'=x-e^-xy+e^y
(s)
y'=x^21+y^2
(t)
y'=2x1+2y
Resposta
(a)
y=-1x+C
(b) y=Kx
(c) y=pmraizx^2+C
(d) y=2-Ke^x1-Ke^x
(e) y=tfrac12lnl(2e^x+Cr)
(f) y=l(3x-tfrac3x+Cr)^1/3
(g) sin y-tfracsin^3y3=tan x+C
(h) y=C,x^xe^x
(i) y-3y=Ke^-2/x
(j) y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C
(k) ln|y|+y^2=sin x+C
(l) y=pmraiztfrac2x^33+C
(m) y=pmraiztfrac23ln|1+x^3|+C
(n) y=1C-cos x
(o) y=tan!l(x+tfracx^22+Cr)
§ tan(2y)=x+tfracsin2x2+C
(q) y=sin!l(ln|x|+Cr)
® y^22+e^y=x^22+e^-x+C
(s) y+y^33=x^33+C
(t) y+y^2=x^2+C
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(s)
(t)