Sketch the curve by using the parametric equations to plot points. Indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as increases.
3.
Passo 1
Temos a curva dada pelas equações paramétricas
com variando de a . O objetivo é esboçar seu gráfico no plano e indicar com uma flecha a direção em que o ponto se move à medida que cresce.
Passo 2
Escolhemos valores de que facilitem o cálculo de e de . Por exemplo
e obtemos:
Passo 3
Observações sobre o formato da curva:
O ponto inicial em é .
Conforme cresce de até , diminui de a e varia de a até voltar a . Isso gera um ramo curvo que desce pelo “lado esquerdo”.
De até , cresce de a e sobe de a e volta a , fazendo o ramo “direito” simétrico ao esquerdo.
A curva é simétrica em relação ao eixo vertical , atinge seu mínimo em quando e não se autointersecta, exceto nos extremos .
Passo 4
Para indicar a direção, basta notar que à medida que aumenta, o ponto percorre:
Ou seja, a flecha começa em (0,pi^2), desce pelo lado esquerdo até (0,0), e sobe pelo lado direito de volta a (0,pi^2).
Resposta
O esboço é uma curva em formato de “V” arredondado simétrico ao eixo y, com extremidades em (0,pi^2), descendo até o ponto mínimo (0,0) e retornando a (0,pi^2). A direção é conforme t cresce: sai de (0,pi^2), desce à esquerda, passa por (0,0), sobe à direita e volta a (0,pi^2), conforme indicado pela flecha.