Sketch the curve by using the parametric equations to plot points. Indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as t increases.
3. x=5 sin t, y=t^2, -pi <= t <= pi

Passo 1

Temos a curva dada pelas equações paramétricas
x=5sin t, y=t^2,
com t variando de -pi a pi. O objetivo é esboçar seu gráfico no plano (x,y) e indicar com uma flecha a direção em que o ponto (x(t),y(t)) se move à medida que t cresce.

Passo 2

Escolhemos valores de t que facilitem o cálculo de sin t e de t^2. Por exemplo
t=-pi,;-tfracpi2,;0,;tfracpi2,;pi
e obtemos:
t=-pi:& x=5sin(-pi)=0, y=(-pi)^2=pi^2, t=-tfracpi2:& x=5sinl(-tfracpi2r)=-5, y=l(-tfracpi2r)^2=l(tfracpi2r)^2, t=0:& x=5sin0=0, y=0^2=0, t=tfracpi2:& x=5sinl(tfracpi2r)=5, y=l(tfracpi2r)^2, t=pi:& x=5sinpi=0, y=pi^2

Passo 3

Observações sobre o formato da curva:
  • O ponto inicial em t=-pi é l(0,pi^2r).
  • Conforme t cresce de -pi até 0, y=t^2 diminui de pi^2 a 0 e x=5sin t varia de 0 a -5 até voltar a 0. Isso gera um ramo curvo que desce pelo “lado esquerdo”.
  • De t=0 até t=pi, y=t^2 cresce de 0 a pi^2 e x=5sin t sobe de 0 a 5 e volta a 0, fazendo o ramo “direito” simétrico ao esquerdo.
  • A curva é simétrica em relação ao eixo vertical x=0, atinge seu mínimo em (0,0) quando t=0 e não se autointersecta, exceto nos extremos (0,pi^2).

Passo 4

Para indicar a direção, basta notar que à medida que t aumenta, o ponto percorre:
(0,pi^2);xrightarrowt=-pito -tfracpi2;(-5,(tfracpi2)^2);xrightarrowt=-tfracpi2to0;(0,0);xrightarrowt=0totfracpi2;(5,(tfracpi2)^2);xrightarrowt=tfracpi2topi;(0,pi^2)
Ou seja, a flecha começa em (0,pi^2), desce pelo lado esquerdo até (0,0), e sobe pelo lado direito de volta a (0,pi^2).

Resposta

O esboço é uma curva em formato de “V” arredondado simétrico ao eixo y, com extremidades em (0,pi^2), descendo até o ponto mínimo (0,0) e retornando a (0,pi^2). A direção é conforme t cresce: sai de (0,pi^2), desce à esquerda, passa por (0,0), sobe à direita e volta a (0,pi^2), conforme indicado pela flecha.

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