Suppose a curve is given by the parametric equations x=f(t), y=g(t), where the range of f is [1,4] and the range of g is [2,3]. What can you say about the curve?

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por (x,y)=(f(t),g(t)) e informa que a imagem de f é o intervalo [1,4] e a imagem de g é o intervalo [2,3]. O conteúdo aqui é interpretação de intervalos de valores de funções paramétricas.

Passo 2

Como Im(f)=[1,4], para todo t temos
1 <= f(t) <= 4,
ou seja, a coordenada x da curva varia entre 1 e 4. De modo análogo, Im(g)=[2,3] implica
2 <= g(t) <= 3,
portanto a coordenada y varia entre 2 e 3.

Passo 3

Juntando essas informações vemos que todos os pontos (x,y) da curva satisfazem
1 <= x <= 4 e 2 <= y <= 3
Logo a curva inteira está contida no retângulo fechado
[1,4]times[2,3]

Resposta

A curva é um subconjunto do retângulo fechado [1,4]times[2,3], isto é, ela nunca sai dessa região e toca cada uma das quatro arestas pelo menos em algum ponto.

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