Use uma integral dupla para calcular volume.
O volume sob a superfície z=3 x^3+3 x^2 e acima do retângulo R=(x, y): 1 <= x <= 3,0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume sob a superfície z = 3x^3 + 3x^2 e acima do retângulo
R = (x,y)mid 1 <= x <= 3,;0 <= y <= 2
O conteúdo é integral dupla e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral iterada.

Passo 2

Montamos a integral dupla para o volume:
V = integral duplaR l(3x^3+3x^2r),dA = integralx=1^3integraly=0^2l(3x^3+3x^2r),dy,dx

Passo 3

Como o integrando independe de y, calculamos primeiro a integral em y:
integraly=0^2l(3x^3+3x^2r),dy = 2,(3x^3+3x^2)
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V = integral1^32l(3x^3+3x^2r),dx

Passo 4

Fatoramos o 2 e integramos em x:
V = 2integral1^3l(3x^3+3x^2r),dx = 2[34x^4 + x^3]1^3

Passo 5

Avaliando nos limites:
[34cdot3^4 + 3^3] - [34cdot1^4 + 1^3] = 3514 - 74 = 3444 = 86
Multiplicando por 2, obtemos
V = 2 times 86 = 172

Resposta

172

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