Avalie se as sequências abaixo são convergentes ou não
a_{n}\left(\frac{3 n + 1}{3 n - 1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\Bigl(\frac{3n+1}{3n-1}\Bigr)^n
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. Vamos usar o limite clássico
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac{x}{m}\Bigr)^{m}=e^{x}\,.

Passo 2

Note que
\frac{3n+1}{3n-1} =1+\frac{2}{3n-1}\,,
então
a_n =\Bigl(1+\frac{2}{3n-1}\Bigr)^n =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\bigr)^{3n-1}\Bigr]^{\frac{n}{3n-1}}\,.

Passo 3

Como m=3n-1\to\infty, vale
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{2}{3n-1}\Bigr)^{3n-1}=e^{2}
e o expoente
\frac{n}{3n-1}\;\longrightarrow\;\frac13\,.
Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl[e^{2}\Bigr]^{\frac{n}{3n-1}} =(e^{2})^{1/3} =e^{2/3}\,.

Passo 4

Concluímos que a sequência converge e seu limite é e^{2/3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n=e^{2/3}\,.

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