Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
(c) y y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis \,y\,y'=x.
O conteúdo aqui é reconhecer que dá para escrever a equação no formato
f(y)\,\frac{dy}{dx}=g(x)
e, em seguida, separar as variáveis y e x para integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=dy/dx, a equação fica
y\,\frac{dy}{dx}=x.
Agora separamos as variáveis multiplicando por dx e dividindo por y:
y\,dy = x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int y\,dy = \int x\,dx.

Passo 4

As integrais são polinomiais e resultam em
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e isolando y, obtemos
y^2 = x^2 + C'
(com C'=2C), e portanto
y = \pm\sqrt{x^2 + C'}.

Resposta

A família geral de soluções é
y^2 = x^2 + C,
ou, equivalentemente,
y(x)=\pm\sqrt{x^2 + C},
com C constante arbitrária.

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