Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
y y^prime=x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial de primeira ordem de variáveis separáveis
y,y' = x
O conteúdo principal aqui é separação de variáveis e integração.

Passo 2

Escrevendo y'=dfracdydx, a equação fica
y dydx = x
Agora separam-se as variáveis, agrupando y de um lado e x do outro:
y,dy = x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral x,dx
Ao realizar as integrais, obtemos
y^22 = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e renomeando a constante (ainda arbitrária) para C, chega-se à forma implícita
y^2 - x^2 = C
Em seguida, isolamos y para obter a forma explícita da solução geral:
y = pmraizx^2 + C

Resposta

y^2 - x^2 = C
ou y = pmraizx^2 + C,
sendo C uma constante arbitrária.

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