Questão 2: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos sela da função seguinte
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada um.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras:
Passo 3
Resolvemos o sistema
Da segunda equação
temos dois casos:
1.
. Substituindo em
dá
logo
ou
. Isso gera os pontos
e
.
2.
. Substituindo em
dá
logo
. Isso gera os pontos
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais segundas e o discriminante da Hessiana:
O discriminante é
Passo 5
Agora avaliamos
e
em cada ponto e classificamos:
1. Em
:
Como
e
, é máximo local.
.
2. Em
:
Como
e
, é mínimo local.
.
3. Em
e
:
Como
, são pontos de sela.
.
Resposta
Máximo local em
com
.
Mínimo local em com
.
Pontos de sela em e
, ambos com
.
Mínimo local em
Pontos de sela em