Questão 2: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos sela da função seguinte
f(x, y)=x^3+3 x y^2-6 x^2-6 y^2+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de
f(x,y)=x^3+3xy^2-6x^2-6y^2+3
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos calcular as derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e usar a matriz Hessiana para classificar cada um.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras:
fx=partial fpartial x=3x^2+3y^2-12x,
fy=partial fpartial y=6xy-12y

Passo 3

Resolvemos o sistema
fx=0, fy=0
Da segunda equação 6y(x-2)=0 temos dois casos:
1. y=0. Substituindo em fx=0
3x^2-12x=0;Longrightarrow;x(x-4)=0
logo x=0 ou x=4. Isso gera os pontos (0,0) e (4,0).
2. x=2. Substituindo em fx=0
3cdot2^2+3y^2-12cdot2=0;Longrightarrow;4+y^2-8=0;Longrightarrow;y^2=4
logo y=pm2. Isso gera os pontos (2,2) e (2,-2).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais segundas e o discriminante da Hessiana:
fxx=6x-12, fyy=6x-12, fxy=6y
O discriminante é
D=fxxfyy-l(fxyr)^2=(6x-12)^2-36y^2 =36l((x-2)^2-y^2r)

Passo 5

Agora avaliamos D e fxx em cada ponto e classificamos:
1. Em (0,0):
D=36l((0-2)^2-0r)=144>0, fxx(0,0)=6cdot0-12=-12<0
Como D>0 e fxx<0, é máximo local.
f(0,0)=3.
2. Em (4,0):
D=36l((4-2)^2-0r)=144>0, fxx(4,0)=6cdot4-12=12>0
Como D>0 e fxx>0, é mínimo local.
f(4,0)=4^3-6cdot4^2+3=-29.
3. Em (2,2) e (2,-2):
D=36l((2-2)^2-(pm2)^2r)=-144<0
Como D<0, são pontos de sela.
f(2,pm2)=8+24-24-24+3=-13.

Resposta

Máximo local em (0,0) com f(0,0)=3.
Mínimo local em (4,0) com f(4,0)=-29.
Pontos de sela em (2,2) e (2,-2), ambos com f(2,pm2)=-13.

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