Questão 3: Calcule os valores mínimo e máximo da função f(x, y, z)=y^2-10 z quando os pontos de coordenadas ( x, y, z ) variam na esfera
x^2+y^2+z^2=36

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor mínimo e máximo de
f(x,y,z)=y^2-10z
sujeito à restrição
x^2+y^2+z^2=36
O método mais direto aqui é o de multiplicadores de Lagrange: introduzimos um parâmetro lambda que implanta a restrição.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=y^2-10z ;-;lambdal(x^2+y^2+z^2-36r)
As condições de extremante vêm de anular as derivadas parciais de L em relação a x, y, z e lambda.

Passo 3

Escrevemos as equações de primeira ordem e a restrição:
partialLpartial x=-2lambda x=0, partialLpartial y=2y-2lambda y=0, partialLpartial z=-10-2lambda z=0,
x^2+y^2+z^2=36

Passo 4

Analisamos o caso lambda=1.
Da primeira equação vem x=0.
Da segunda não há restrição a não ser lambda=1, e da terceira
-10-2cdot1cdot z=0Longrightarrow z=-5
Na esfera isso obriga
0^2+y^2+(-5)^2=36Longrightarrow y^2=11,
ou seja os pontos (0,pmraiz11,-5) com
f=y^2-10z=11-10(-5)=61

Passo 5

No caso lambdaneq1 as primeiras equações dão x=0 e y=0.
Da terceira temos z=-5/lambda e a restrição força lvert zrvert=6, logo z=6 ou z=-6.
Isso gera os pontos (0,0,6) com
f(0,0,6)=0-10cdot6=-60
e (0,0,-6) com
f(0,0,-6)=0-10cdot(-6)=60

Passo 6

Dos valores obtidos temos os candidatos
61,;60,;-60
O maior é 61 e o menor é -60.

Resposta

O valor máximo de f na esfera é 61 e o valor mínimo é -60.

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