Questão 3: Calcule os valores mínimo e máximo da função
quando os pontos de coordenadas (
) variam na esfera
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor mínimo e máximo de
sujeito à restrição
O método mais direto aqui é o de multiplicadores de Lagrange: introduzimos um parâmetro
que implanta a restrição.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
As condições de extremante vêm de anular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
.
Passo 3
Escrevemos as equações de primeira ordem e a restrição:
Passo 4
Analisamos o caso
.
Da primeira equação vem .
Da segunda não há restrição a não ser , e da terceira
Da primeira equação vem
Da segunda não há restrição a não ser
Na esfera isso obriga
ou seja os pontos
com
Passo 5
No caso
as primeiras equações dão
e
.
Da terceira temos e a restrição força
, logo
ou
.
Isso gera os pontos com
Da terceira temos
Isso gera os pontos
e
com
Passo 6
Dos valores obtidos temos os candidatos
O maior é
e o menor é
.
Resposta
O valor máximo de
na esfera é
e o valor mínimo é
.