Questão 1: A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=100 e^-2 x^2-y^2-z^2 onde T é medido em ^circ C e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(1,1,1) em direção ao ponto (2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=100,e^-2x^2-y^2-z^2
e pede a taxa de variação de T no ponto P(1,1,1) na direção do ponto (2,1,2). Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que é
D uT(P)=nabla T(P)cdot u,
onde nabla T é o gradiente de T e u é o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T:
partial Tpartial x =100,e^-2x^2-y^2-z^2cdot(-4x), partial Tpartial y =100,e^-2x^2-y^2-z^2cdot(-2y), partial Tpartial z =100,e^-2x^2-y^2-z^2cdot(-2z)
Logo,
nabla T(x,y,z) =l(-4x,100e^-2x^2-y^2-z^2,,-2y,100e^-2x^2-y^2-z^2,,-2z,100e^-2x^2-y^2-z^2r)
Em P(1,1,1) temos
e^-2(1)^2-1^2-1^2=e^-4,
então
nabla T(1,1,1) =(-400e^-4,,-200e^-4,,-200e^-4)

Passo 3

O vetor que aponta de P(1,1,1) para (2,1,2) é
v=(2-1,,1-1,,2-1)=(1,0,1)
Seu comprimento é
| v|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2,
logo o vetor unitário é
u= v| v| =l(1raiz2,0,1raiz2r)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar
D uT(1,1,1) =nabla T(1,1,1)cdot u =(-400e^-4,-200e^-4,-200e^-4)cdotl(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)
Isto dá
D uT(1,1,1) =-400e^-41raiz2-200e^-41raiz2 =-600raiz2e^-4 =-300raiz2,e^-4

Resposta

-300raiz2,e^-4(^circC/m)

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