3- Determine as soluções das equações redutíveis à forma separável:
a) (y^2+y x) d x-x^2 d y=0
b) (y+x cot yx) d x-x d y=0
c) y^prime=2 y-x2 x-y
d) y^prime=2 y-x+52 x-y-4 (sugestão: para reduzir essa equação a equação do item c), utilize uma substituição preliminar da forma x=z+alpha, y=t+beta, escolha alpha e beta de modo que se anulem os termos independentes)

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro equações diferenciais que são reduzíveis à forma separável. Nos itens (a) e (b) vamos explorar o fato de a equação depender de y/x (funções homogêneas ou quase homogêneas) e usar a substituição
y = u,x,
no item (c) aplicamos diretamente a ideia de equação homogênea y'=f(y/x) com u=y/x, e no item (d) fazemos antes uma translação
x = z + alpha, y = t + beta
para anular constantes, reduzindo-o ao caso do item (c). Em todos os casos, chegaremos a uma equação separável em u (ou em t,z) e integramos.

Passo 2

Resolver a) l(y^2+yxr),dx - x^2,dy = 0.
Dividindo por dx e por x^2 obtemos
dydx = y^2 + x yx^2 = l(yxr)^2 + yx
Fazendo u=y/x implica dy/dx = u + x,du/dx, logo
u + xdudx = u^2 + u Longrightarrow xdudx = u^2
Isto é separável:
duu^2 = dxx
Integrando,
-1u = ln|x| + C Longrightarrow -xy = ln|x| + C

Passo 3

Resolver b) l(y + xcotyxr),dx - x,dy = 0.
Escrevendo dy/dx=(y + xcot(y/x))/x
dydx = yx + cotyx
Com u=y/x temos dy/dx = u + x,du/dx, logo
u + xdudx = u + cot u Longrightarrow xdudx = cot u,
separável em
tan u,du = dxx
Integrando,
-lnl|cos ur| = ln|x| + C Longrightarrow xcosyx = K

Passo 4

Resolver c) y' = 2y - x2x - y.
Esta é homogênea em x,y, pois
dydx = 2(y/x) - 12 - (y/x)
Tomando u=y/x dy/dx = u + x,du/dx, então
u + xdudx = 2u - 12 - u Longrightarrow xdudx = u^2-12 - u = (u-1)(u+1)2 - u
Separamos:
2 - u(u-1)(u+1),du = dxx
Pela decomposição em frações parciais e integração obtemos
ln|u-1||u+1|^3 = 2ln|x| + C Longrightarrow y - x(y + x)^3 = C'

Passo 5

Resolver d) y' = 2y - x +52x - y -4.
Primeiro fazemos a translação
x = z + alpha, y = t + beta
e escolhemos alpha,beta tal que os termos independentes sumam:
2beta - alpha +5 = 0, 2alpha - beta -4 = 0 ;Rightarrow;alpha=1,;beta=-2
Então dy/dx = dt/dz e a equação passa a
dtdz = 2t - z2z - t,
que é igual ao caso do item (c). Logo a solução em t,z é
t - z(t + z)^3 = C,
e voltando a x,y (onde t=y+2, z=x-1):
y - x +3(y + x +1)^3 = C'

Resposta

a) -dfracxy = ln|x| + C.
b) xcos!l(dfracyxr) = C.
c) dfracy - x(y + x)^3 = C.
d) dfracy - x + 3(y + x + 1)^3 = C.

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