3- Determine as soluções das equações redutíveis à forma separável:
a)
b)
c)
d) (sugestão: para reduzir essa equação a equação do item c), utilize uma substituição preliminar da forma , escolha de modo que se anulem os termos independentes)
Passo 1
O enunciado pede para resolver quatro equações diferenciais que são reduzíveis à forma separável. Nos itens (a) e (b) vamos explorar o fato de a equação depender de (funções homogêneas ou quase homogêneas) e usar a substituição
no item (c) aplicamos diretamente a ideia de equação homogênea com , e no item (d) fazemos antes uma translação
para anular constantes, reduzindo-o ao caso do item (c). Em todos os casos, chegaremos a uma equação separável em (ou em ) e integramos.
Passo 2
Resolver a) .
Dividindo por e por obtemos
Fazendo implica , logo
Isto é separável:
Integrando,
Passo 3
Resolver b) .
Escrevendo dá
Com temos , logo
separável em
Integrando,
Passo 4
Resolver c) y' = 2y - x2x - y.
Esta é homogênea em x,y, pois
dydx = 2(y/x) - 12 - (y/x)
Tomando u=y/x dá dy/dx = u + x,du/dx, então
u + xdudx = 2u - 12 - u Longrightarrow xdudx = u^2-12 - u = (u-1)(u+1)2 - u
Separamos:
2 - u(u-1)(u+1),du = dxx
Pela decomposição em frações parciais e integração obtemos
ln|u-1||u+1|^3 = 2ln|x| + C Longrightarrow y - x(y + x)^3 = C'
Passo 5
Resolver d) y' = 2y - x +52x - y -4.
Primeiro fazemos a translação
x = z + alpha, y = t + beta
e escolhemos alpha,beta tal que os termos independentes sumam: