Em cada item, calcule a integral iterada. Sugestão. Se você usar os resultados do exercício C1. não precisará resolver nenhuma integral aqui.
integral0^pi integral0^1 z raiz1-z^2 sen x d z d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
integral0^piintegral0^1zraiz1-z^2sin x,dz,dx
Aqui vamos usar dois blocos de teoria:
  1. Integral por substituição para integral0^1zraiz1-z^2,dz.
  2. Integral direta de seno para integral0^pisin x,dx.

Passo 2

Calcular a integral em z:
integral0^1zraiz1-z^2,dz
Fazemos a substituição
u = 1 - z^2, du = -2z,dz Longrightarrow z,dz = -12,du
Assim a integral fica
integral0^1zraiz1 - z^2,dz = integralu(0)=1^u(1)=0raizu,l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral1^0u^1/2,du

Passo 3

Avaliação dos limites em u:
-tfrac12integral1^0u^1/2,du = -tfrac12l[u^3/2tfrac32r]1^0 = -tfrac12cdot23l(0^3/2-1^3/2r) = -tfrac13l(0-1r) = tfrac13
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integral0^1zraiz1-z^2,dz = tfrac13

Passo 4

Calcular a integral em x:
integral0^pisin x,dx = l[-cos xr]0^pi = l(-cospir)-l(-cos0r) = (-(-1))-(-1) = 1+1 = 2

Passo 5

Como a parte em z deu tfrac13 e a de x deu 2, o valor da integral iterada é
13times 2 = 23

Resposta

23

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