Verifique que as EDO’s dadas são exatas e resolva-as:
(2 y^2 x-3) d x+(2 y x^2+4) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
(2 y^2 x - 3),dx + (2 y x^2 + 4),dy = 0
é exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo aqui é EDO exata: reconhecemos uma forma diferencial
!M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, checamos a condição de exatidão
partial M/partial y = partial N/partial x e, depois, buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que dphi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2 x y^2 - 3, N(x,y) = 2 x^2 y + 4
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2 x y^2 - 3) = 4 x y,
partial Npartial x = partialpartial x(2 x^2 y + 4) = 4 x y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y) = integral (2 x y^2 - 3),dx = x^2 y^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
partial phi/partial y = N. Calculando
partial phipartial y = partialpartial y(x^2 y^2 - 3x + h(y)) = 2 x^2 y + h'(y)
e igualando a N(x,y)=2 x^2 y + 4, obtemos
2 x^2 y + h'(y) = 2 x^2 y + 4 Longrightarrow h'(y)=4 Longrightarrow h(y)=4y

Passo 5

Substituindo h(y) na expressão de phi, temos a função potencial completa:
phi(x,y) = x^2 y^2 - 3x + 4y
A solução geral da EDO exata é dada por
phi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 y^2 - 3x + 4y = C

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