Verifique que as EDO’s dadas são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
é exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo aqui é EDO exata: reconhecemos uma forma diferencial
, checamos a condição de exatidão
e, depois, buscamos uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
. Calculando
e igualando a
, obtemos
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos a função potencial completa:
A solução geral da EDO exata é dada por
onde
é constante arbitrária.