Em cada item, calcule a integral iterada. Sugestão. Se você usar os resultados do exercício C1. não precisará resolver nenhuma integral aqui.
integral0^pi2 integral0^y(sen(2 x+y)-sen(x+y)) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi2!integral0^yl(sin(2x+y)-sin(x+y)r),dx,dy
O conteúdo envolvido é integração iterada e uso da fórmula
integral sin(ax+b),dx = -1acos(ax+b)+C
Vamos primeiro integrar em x (a integral interna) e depois em y.

Passo 2

Calcule a integral interna
I(y)=integral0^yl(sin(2x+y)-sin(x+y)r),dx
separando em duas integrais:
integral0^ysin(2x+y),dx e integral0^ysin(x+y),dx

Passo 3

Usando integralsin(2x+y),dx = -tfrac12cos(2x+y), temos
integral0^ysin(2x+y),dx =l[-tfrac12cos(2x+y)r]0^y =-tfrac12l(cos(3y)-cos(y)r) =tfrac12l(cos(y)-cos(3y)r)

Passo 4

Análogo para sin(x+y):
integral0^ysin(x+y),dx =l[-cos(x+y)r]0^y =-cos(2y)+cos(y) =cos(y)-cos(2y)

Passo 5

Subtraindo as duas partes,
I(y) =tfrac12l(cos(y)-cos(3y)r) -l(cos(y)-cos(2y)r) =,-tfrac12cos(y)+cos(2y)-tfrac12cos(3y)

Passo 6

Agora a integral externa é
integral0^pi2I(y),dy =integral0^pi2!l(-tfrac12cos(y)+cos(2y)-tfrac12cos(3y)r),dy

Passo 7

Separe em três integrais:
-tfrac12integral0^pi2cos(y),dy +integral0^pi2cos(2y),dy -tfrac12integral0^pi2cos(3y),dy

Passo 8

Calcule cada uma:
integral0^pi2cos(y),dy = l[sin(y)r]0^pi2=1,
integral0^pi2cos(2y),dy = l[tfrac12sin(2y)r]0^pi2 =tfrac12l(sinpi-sin0r)=0,
integral0^pi2cos(3y),dy = l[tfrac13sin(3y)r]0^pi2 =tfrac13l(sintfrac3pi2-0r) =-tfrac13

Passo 9

Reunindo:
-tfrac12cdot1 + 0 ;-tfrac12cdotl(-tfrac13r) =-tfrac12 + tfrac16 =-tfrac36+tfrac16 =-tfrac26 =-tfrac13

Resposta

-tfrac13

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