Determine as soluções estacionárias dos seguintes sistemas mecânicos.
ddoty+4 doty+3 y=65 cos 2 t.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as “soluções estacionárias” do sistema
ddot y + 4dot y + 3y = 65cos(2t)
Isso é um ODE linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico. Em teoria de sistemas, a solução geral é a soma da parte transitória (que aqui morre rapidinho por causa da “4” no termo de amortecimento) e da parte estacionária (ou particular). Como queremos só a parte que permanece depois que o transiente se apaga, vamos buscar a solução particular dessa equação. Para isso, precisaremos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A ideia do método dos coeficientes a determinar é supor uma forma de solução particular que “casará” com o forçamento. Como o lado direito é 65cos(2t), a gente tenta
yp(t)=Acos(2t)+Bsin(2t),
onde A e B são constantes a achar. A partir daí, vamos calcular dot yp e ddot yp e substituir tudo na equação original.

Passo 3

  1. Derivadas de yp: dot yp = -2Asin(2t)+2Bcos(2t), ddot yp = -4Acos(2t)-4Bsin(2t)
    2) Substituindo em ddot y+4dot y+3y=65cos(2t):
    (-4Acos2t -4Bsin2t) + 4(-2Asin2t+2Bcos2t) + 3(Acos2t+Bsin2t) =65cos2t
  2. Agrupando termos de cos2t e sin2t:
    Para cos2t: -4A + 8B +3A = -A +8B =65
    Para sin2t: -4B -8A +3B = -8A -B =0
  3. Resolvendo o sistema -A +8B =65, -8A -B =0, da segunda equação vem B=-8A. Substituindo na primeira: -A +8(-8A)=65;Longrightarrow;-A -64A=65;Longrightarrow;-65A=65;Longrightarrow;A=-1
    Então B=-8A=8.

Resposta

A solução estacionária (parte particular) é
boxedyest(t) = -cos(2t) ;+; 8sin(2t)

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