Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
y^prime prime+2 y^prime+10 y=0 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=-3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
y'' + 2y' + 10y = 0
com as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=-3
Isso faz parte das Equações Diferenciais de 2º grau com coeficientes constantes. Vamos precisar:
  1. montar a equação característica;
  2. achar as raízes (que podem ser complexas);
  3. escrever a solução geral;
  4. usar as condições iniciais pra determinar as constantes.

Passo 2

Escrevendo a equação característica, trocamos r^2 + 2r + 10 = 0 por r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot102 = -2 pm raiz4 - 402 = -2 pm raiz-362 = -1 pm 3i :
y(t) = e^alpha tl(Acos(beta t) + Bsin(beta t)r)
Usando a fórmula de Bhaskara:
y(t) = e^-tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r)
Como as raízes são complexas na forma , a teoria diz que a solução geral é
Aqui e , então

Passo 3

Agora usamos as condições iniciais pra achar y(0) = e^0l(Acdotcos0 + Bcdotsin0r) = A = 0 e y(t) = e^-t(Acos3t + Bsin3t), .
  1. Em y'(t) = e^-tl(-Acos3t - Bsin3tr) + e^-tl(-3Asin3t + 3Bcos3tr) = e^-tl((3B - A)cos3t + (-3A - B)sin3tr) :
y'(0) = (3B - A)cdot1 + 0 = 3B - A = 3B
  1. Precisamos de 3B = -3 Longrightarrow B = -1 . Derivando
temos
Em :
Mas e já vimos , logo

Resposta

boxedy(t) = -e^-t,sin(3t)

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