Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
com as condições iniciais
Isso faz parte das Equações Diferenciais de 2º grau com coeficientes constantes. Vamos precisar:
- montar a equação característica;
- achar as raízes (que podem ser complexas);
- escrever a solução geral;
- usar as condições iniciais pra determinar as constantes.
Passo 2
Escrevendo a equação característica, trocamos
por
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas na forma
, a teoria diz que a solução geral é
Aqui
e
, então
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais pra achar
e
.
- Em
:
- Precisamos de
. Derivando
temos
Em
:
Mas
e já vimos
, logo