Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime+2 y^prime+10 y=25 x^2+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+10y=25x^2+3
O que precisamos: solução da homogênea (usando equação característica) e uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

A equação homogênea é
y''+2y'+10y=0
A equação característica é
r^2+2r+10=0
cuja solução é
r=-1pm3i
Logo a solução homogênea é
yh=e^-xl(C1cos(3x)+C2sin(3x)r)

Passo 3

Para a particular, o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, então supomos
yp = Ax^2 + Bx + C,
e calculamos
yp' = 2Ax + B, yp'' = 2A

Passo 4

Substituindo em y''+2y'+10y temos
yp''+2yp'+10yp =2A+2(2Ax+B)+10(Ax^2+Bx+C) =10Ax^2+(4A+10B)x+(2A+2B+10C)
Esse polinômio deve ser igual a 25x^2+0x+3.

Passo 5

Igualando coeficientes em 10Ax^2+(4A+10B)x+(2A+2B+10C)=25x^2+3:
10A=25implies A=tfrac52, 4A+10B=0implies B=-1, 2A+2B+10C=3implies C=0
Logo
yp=tfrac52x^2 - x
A solução geral é
y(x)=yh+yp =e^-xl(C1cos(3x)+C2sin(3x)r)+52x^2 - x

Resposta

y(x)=e^-xl(C1cos(3x)+C2sin(3x)r)+52x^2 - x

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