Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime+4 y^prime+3 y=65 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 65x
O conteúdo envolvido é solução de EDOs lineares: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + 4y' + 3y = 0
e escrevemos o polinômio característico
r^2 + 4r + 3 = 0
As raízes são
r = -1, r=-3
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-x + C2 e^-3x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' + 4y' + 3y = 65x
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, tentamos
yp = Ax + B
Calculando derivadas:
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo na equação:
0 + 4A + 3(Ax + B) = 65x
que se rearranja em
3A,x + l(4A + 3Br) = 65x + 0
Igualando coeficientes de x e termo constante:
3A = 65Rightarrow A = 653,
4A + 3B = 0Rightarrow 4!l(tfrac653r) + 3B = 0 Rightarrow B = -2609
Assim
yp = 653,x - 2609

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y = yh + yp = C1 e^-x + C2 e^-3x + 653,x - 2609

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-3x + 653,x - 2609

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