Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é solução de EDOs lineares: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e escrevemos o polinômio característico
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo na equação:
que se rearranja em
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Assim
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: