Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime-7 y^prime+12 y=3 e^-x

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 12y = 3e^-x
O método geral é obter a solução da parte homogênea (resolvendo a equação característica) e depois encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo 3e^-x.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 7y' + 12y = 0
A equação característica é
r^2 - 7r + 12 = 0
Resolvendo, temos
r = 3 ou r = 4
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^4x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp do lado não-homogêneo, como o termo forçado é 3e^-x e -1 não é raiz da característica, tentamos
yp = A e^-x
Então
yp' = -A e^-x, yp'' = A e^-x

Passo 4

Substituindo em y'' - 7y' + 12y:
yp'' - 7yp' + 12yp = A e^-x -7(-A e^-x) +12(A e^-x) = A(1+7+12)e^-x = 20A e^-x
Para igualar a 3e^-x precisamos de
20A e^-x = 3e^-x Longrightarrow 20A = 3 Longrightarrow A = tfrac320
Logo
yp = 320e^-x

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
y = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^4x + 320e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x + 320e^-x

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