Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
Passo 1
A equação diferencial é de segunda ordem, linear com coeficientes constantes e termo não homogenéo. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos a equação característica
que tem raiz dupla
Passo 3
Para encontrar a solução particular
ao termo
, observamos que
é raiz dupla da característica, então elevamos o polinômio teste de grau 1 a
. Assim propomos
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos:
$$y_p’’= e{x}\bigl(Ax3 + (B+6A)x^2 + (4B+6A)x + 2B\bigr).
$$
Passo 5
Igualando ao termo não homogenéo
, obtemos
logo
Passo 6
A solução geral é obtida somando as partes homogênea e particular.