Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
y^prime prime-2y^prime+y=xe^x

Passo 1

A equação diferencial é de segunda ordem, linear com coeficientes constantes e termo não homogenéo. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é
yh = (C1 + C2 x)e^x

Passo 3

Para encontrar a solução particular yp ao termo xe^x, observamos que e^x é raiz dupla da característica, então elevamos o polinômio teste de grau 1 a x^2. Assim propomos
yp = e^x(Ax^3 + Bx^2)

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos:
yp' = e^xl(Ax^3 + Bx^2 + 3Ax^2 + 2Bxr),
$$y_p’’= e{x}\bigl(Ax3 + (B+6A)x^2 + (4B+6A)x + 2B\bigr).
yp''= e^xl(Ax^3 + (B+6A)x^2 + (4B+6A)x + 2Br) ãy_p’’ - 2y_p’ + y_p = e^{x}\bigl(6A x + 2B\bigr).
$$

Passo 5

Igualando ao termo não homogenéo x e^x, obtemos
6A = 1, 2B = 0
logo A = tfrac16 e B=0, e
yp = x^36e^x

Passo 6

A solução geral é obtida somando as partes homogênea e particular.

Resposta

y=(C1 + C2x)e^x + tfracx^36e^x

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