Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro
e entre os planos
e
.
R.:
.
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em espaços tridimensionais. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para a região descrita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro
tem raio 3 e é circular, orientado ao longo do eixo z. Isso significa que para cada valor de z, temos um círculo de raio 3 no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os planos que limitam o sólido. O primeiro plano é
, que é um plano horizontal paralelo ao xy no nível z = 1. O segundo plano é
, que pode ser reescrito como
. Esse é um plano inclinado que corta o eixo z em z = 5 e o eixo x em x = 5.
Passo 4
Para configurar a integral tripla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por último em x. Assim, a integral será:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em z:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em y. Note que o integrando
não depende de y, então a integral em y simplesmente multiplica
pelo comprimento do intervalo de y:
Agora, nossa integral é:
Passo 7
Para resolver essa integral em x, é útil fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar
, o que implica que
e
. Quando
,
e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, vamos expandir e separar a integral:
A segunda integral é ímpar e simétrica em relação a 0, então ela se anula. Focamos na primeira integral:
Sabemos que
, então:
Multiplicando pelo 18:
Resposta
O volume do sólido é
.