Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x^2+y^2=9 e entre os planos z=1 e x+z=5.
R.: 36 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = 5. Para isso, vamos usar integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes em espaços tridimensionais. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para a região descrita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro x^2 + y^2 = 9 tem raio 3 e é circular, orientado ao longo do eixo z. Isso significa que para cada valor de z, temos um círculo de raio 3 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os planos que limitam o sólido. O primeiro plano é z = 1, que é um plano horizontal paralelo ao xy no nível z = 1. O segundo plano é x + z = 5, que pode ser reescrito como z = 5 - x. Esse é um plano inclinado que corta o eixo z em z = 5 e o eixo x em x = 5.

Passo 4

Para configurar a integral tripla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por último em x. Assim, a integral será:
integralx=-3^3 integraly=-raiz9 - x^2^raiz9 - x^2 integralz=1^5 - x dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em z:
integralz=1^5 - x dz = (5 - x) - 1 = 4 - x
Agora, nossa integral fica:
integralx=-3^3 integraly=-raiz9 - x^2^raiz9 - x^2 (4 - x) , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar em y. Note que o integrando 4 - x não depende de y, então a integral em y simplesmente multiplica 4 - x pelo comprimento do intervalo de y:
integraly=-raiz9 - x^2^raiz9 - x^2 (4 - x) , dy = (4 - x) cdot (2raiz9 - x^2) = 2(4 - x)raiz9 - x^2
Agora, nossa integral é:
integralx=-3^3 2(4 - x)raiz9 - x^2 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral em x, é útil fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar x = 3sintheta, o que implica que dx = 3costheta , dtheta e raiz9 - x^2 = 3costheta. Quando x = -3, theta = -pi2 e quando x = 3, theta = pi2.
Substituindo na integral:
2 integral-pi2^pi2 (4 - 3sintheta) cdot 3costheta cdot 3costheta , dtheta = 18 integral-pi2^pi2 (4 - 3sintheta)cos^2theta , dtheta

Passo 8

Agora, vamos expandir e separar a integral:
18 [4 integral-pi2^pi2 cos^2theta , dtheta - 3 integral-pi2^pi2 sintheta cos^2theta , dtheta ]
A segunda integral é ímpar e simétrica em relação a 0, então ela se anula. Focamos na primeira integral:
4 integral-pi2^pi2 cos^2theta , dtheta
Sabemos que cos^2theta = 1 + cos(2theta)2, então:
4 cdot 12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta = 2 [ theta + sin 2theta2 ]-pi2^pi2 = 2 [ (pi2 + 0) - (-pi2 + 0) ] = 2 cdot pi = 2pi
Multiplicando pelo 18:
18 cdot 2pi = 36pi

Resposta

O volume do sólido é 36pi.

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