Vários fenômenos são modelados pelo crescimento e decaimento exponenciais. Tais modelos são descritos pelo seguinte problema de valor de inicial
onde
é uma constante de proporcionalidade. Considerando
, apresente a resolução do modelo de crescimento e decaimento exponenciais.
Passo 1
O problema dado é a equação diferencial de valor inicial
, com
. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem aplicadas a modelos de crescimento e decaimento exponencial. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Para separar variáveis, reescrevemos a equação como abaixo e isolamos
e
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, fazemos a exponenciação para isolar
e obtemos a solução geral:
Passo 5
Aplicando a condição inicial
, temos
. Assim, a solução particular fica
. Para
há crescimento exponencial, e para
decaimento exponencial.
Resposta
x(t) = x_0 e^{k t}