Vários fenômenos são modelados pelo crescimento e decaimento exponenciais. Tais modelos são descritos pelo seguinte problema de valor de inicial
a xd t=k x, x(t)=x0
onde k é uma constante de proporcionalidade. Considerando t0=0, apresente a resolução do modelo de crescimento e decaimento exponenciais.

Passo 1

O problema dado é a equação diferencial de valor inicial dxdt = k,x, com x(0)=x0. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem aplicadas a modelos de crescimento e decaimento exponencial. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Para separar variáveis, reescrevemos a equação como abaixo e isolamos dx e dt:
dxdt = k,x Longrightarrow dxx = k,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dxx = integral k,dt Longrightarrow ln|x| = k,t + C

Passo 4

Em seguida, fazemos a exponenciação para isolar x e obtemos a solução geral:
x = e^k t + C = e^C,e^k t = A,e^k t

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=x0, temos A = x0. Assim, a solução particular fica x(t)=x0 e^k t. Para k>0 há crescimento exponencial, e para k<0 decaimento exponencial.

Resposta

x(t) = x_0 e^{k t}

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