Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime+4 y=sen 3 x

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = sen(3x),
e pede a sua solução geral. O método consiste em achar a solução complementar (homogênea) resolvendo y''+4y=0 e depois obter uma solução particular por coeficientes indeterminados para o termo forçante sen(3x).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
Logo a solução complementar é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sen(2x)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é sen(3x), fazemos o palpite
yp(x) = Acos(3x) + Bsen(3x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp''(x) = -9Acos(3x) -9Bsen(3x)
Substituindo em y''+4y temos
yp'' + 4yp = (-9A+4A)cos(3x) +(-9B+4B)sen(3x) = -5Acos(3x) -5Bsen(3x)
Para coincidir com sen(3x) obrigamos
-5Acos(3x) -5Bsen(3x) = 0cdotcos(3x) + 1cdotsen(3x)
Comparando coeficientes vem
-5A = 0 Longrightarrow A = 0, -5B = 1 Longrightarrow B = -tfrac15

Passo 5

Assim a solução particular é
yp(x) = 0cdotcos(3x) - tfrac15sen(3x) = -tfrac15sen(3x)
Portanto a solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(2x) + C2sen(2x) - tfrac15sen(3x)

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sen(2x) - 15sen(3x)

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