Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime-4 y=2 e^3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y = 2e^3x
Nesse tipo de equação a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea
y'' - 4y = 0
e yp é uma solução particular da EDO completa. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar yp.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea y'' - 4y = 0, montamos a equação característica
r^2 - 4 = 0
cuja raiz dupla simples são r = 2 e r = -2. Logo
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2e^3x, chutamos uma solução particular da forma
yp(x) = A e^3x
Então
yp'' = 9A e^3x
e substituindo em y'' - 4y obtemos
yp'' - 4yp = (9A - 4A)e^3x = 5A e^3x
Para isso ser igual a 2e^3x precisamos de
5A e^3x = 2e^3x Longrightarrow A = 25
Assim
yp(x) = 25 e^3x

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + 25 e^3x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + 25 e^3x

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