Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea \r
que tem coeficientes constantes. Vamos primeiro obter a solução da homogênea associada usando a equação característica e depois encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea é
Resolvendo, obtemos uma raiz dupla
Passo 3
Com raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
Passo 4
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece como solução da homogênea com multiplicidade 2, adotamos o ansatz
Calculando as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Para que isso seja igual a
, impomos
Assim
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da homogênea e da particular: