Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=8 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea \r
y'' - 4y' + 4y = 8e^2x,
que tem coeficientes constantes. Vamos primeiro obter a solução da homogênea associada usando a equação característica e depois encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^2 - 4r + 4 = 0
Resolvendo, obtemos uma raiz dupla
r = 2

Passo 3

Com raiz dupla r=2, a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^2x + C2 x e^2x

Passo 4

Como o termo não homogêneo é 8e^2x e e^2x já aparece como solução da homogênea com multiplicidade 2, adotamos o ansatz
yp = A x^2 e^2x
Calculando as derivadas:
yp' = 2A(x^2 + x)e^2x, yp'' = 2A(2x^2 + 4x +1)e^2x
Substituindo em y'' -4y' +4y obtemos
yp'' - 4yp' + 4yp = 2A,e^2x

Passo 5

Para que isso seja igual a 8e^2x, impomos
2A,e^2x = 8e^2x Longrightarrow A = 4
Assim
yp = 4x^2 e^2x

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea e da particular:
y(x) = yh + yp = C1 e^2x + C2 x e^2x + 4x^2 e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x + 4x^2 e^2x

Exercícios relacionados