Considere a função quadrática
. Determine a soma das raízes de
de forma que sua imagem seja
e o eixo de simetria do gráfico de
seja
.
Passo 1
A função dada é
e queremos que seu gráfico tenha imagem
e eixo de simetria
.
Isso envolve três ideias principais:
Isso envolve três ideias principais:
- A fórmula do eixo de simetria de uma parábola
. - O valor máximo
deve ser (já que a imagem vai até e a parábola abre para baixo). - A soma das raízes, pela fórmula de Vieté, é
.
Passo 2
Do eixo de simetria
usamos
Logo
Passo 3
Como a imagem é
, a parábola abre para baixo (ou seja,
) e o vértice atinge
.
O vértice está em , então
O vértice está em
Mas
Dessa forma impomos
Passo 4
Substituindo
na equação do passo anterior:
Então
Passo 5
Agora que temos
e
, a soma das raízes
é dada por
Resposta
A soma das raízes de
é
.