Considere a função quadrática f(x)=a x^2+b x+1. Determine a soma das raízes de f de forma que sua imagem seja (-infty, 3] e o eixo de simetria do gráfico de f seja x=-1.

Passo 1

A função dada é
f(x)=a x^2+b x+1
e queremos que seu gráfico tenha imagem (-infty,3] e eixo de simetria x=-1.
Isso envolve três ideias principais:
  1. A fórmula do eixo de simetria de uma parábola xv=-tfracb2a.
  2. O valor máximo f(xv) deve ser 3 (já que a imagem vai até 3 e a parábola abre para baixo).
  3. A soma das raízes, pela fórmula de Vieté, é -tfracba.

Passo 2

Do eixo de simetria xv=-1 usamos
xv = -b2a = -1
Logo
b2a=1 Longrightarrow b=2a

Passo 3

Como a imagem é (-infty,3], a parábola abre para baixo (ou seja, a<0) e o vértice atinge y=3.
O vértice está em x=-1, então
f(-1)=3
Mas
f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+1 = a - b +1
Dessa forma impomos
a - b +1 = 3

Passo 4

Substituindo b=2a na equação do passo anterior:
a - (2a) +1 = 3 Longrightarrow -a +1 = 3 Longrightarrow -a = 2 Longrightarrow a = -2
Então
b = 2a = 2cdot(-2) = -4

Passo 5

Agora que temos a=-2 e b=-4, a soma das raízes alpha+beta é dada por
alpha+beta = -ba = --4-2 = -2

Resposta

A soma das raízes de f é -2.

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