Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+5 y^prime+2 y=e^-2 x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 5y' + 2y = e^-2x + x^2
e depois:
  1. Encontrar a solução complementar yc e provar que suas componentes formam um conjunto fundamental (ou seja, são linearmente independentes).
  2. Determinar uma solução particular yp por método dos coeficientes a determinar.
  3. Escrever a solução geral y = yc + yp.
  4. Impor as condições iniciais em dois casos diferentes e calcular as constantes de integração C1 e C2.
Para isso vamos usar conteúdo de equações lineares de coeficientes constantes, raízes da equação característica, Wronskiano e método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvemos a homogênea associada
y'' + 5y' + 2y = 0
pela equação característica
r^2 + 5r + 2 = 0
que tem raízes
r1,2 = -5 pm raiz25 - 82 = -5 pm raiz172
Logo a solução complementar é
yc(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
com r1 = tfrac-5 + raiz172 e r2 = tfrac-5 - raiz172.

Passo 3

Prova de que e^r1 x,,e^r2 x é conjunto fundamental: calcule o Wronskiano
W(x) = e^r1 x & e^r2 x [6pt] r1 e^r1 x & r2 e^r2 x = (r2 - r1),e^(r1 + r2)x
Como r1neq r2, temos W(x)neq 0 para todo x, provando a independência linear.]

Passo 4

Buscamos uma solução particular da forma
yp(x) = A e^-2x ;+; a x^2 + b x + c
Para o termo e^-2x:
yp^(1) = A e^-2x, yp^(1)prime = -2A e^-2x, yp^(1)primeprime = 4A e^-2x,
substituindo em y''+5y'+2y só o bloco yp^(1)
(4A -10A +2A)e^-2x = -4A e^-2x overset!= e^-2x Longrightarrow A = -tfrac14
Para o polinômio ax^2+bx+c:
yp^(2) = a x^2 + b x + c, yp^(2)prime = 2a x + b, yp^(2)primeprime = 2a
Substituindo em y''+5y'+2y obtemos
2a +5(2a x + b) +2(a x^2 + b x + c) =2a x^2 + (10a+2b)x + (2a+5b+2c)
que deve ser igual a x^2. Igualando coeficientes:
2a=1;Rightarrow;a=tfrac12, 10a+2b=0;Rightarrow;b=-tfrac52, 2a+5b+2c=0;Rightarrow;c=tfrac234

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x -tfrac14 e^-2x +l(tfrac12 x^2 - tfrac52 x + tfrac234r)

Passo 6

Caso 1: y(0)=1 e y(1)=2.
Em x=0:
y(0)=C1 + C2 -tfrac14 + tfrac234 = C1 + C2 + tfrac224 = C1+C2 + tfrac112 =1 ;Longrightarrow; C1 + C2 = -tfrac92
Em x=1:
y(1)=C1 e^r1+C2 e^r2 -tfrac14 e^-2 + tfrac12 - tfrac52 + tfrac234 = C1 e^r1+C2 e^r2 + tfrac154 - tfrac14 e^-2
deve dar 2, logo
C1 e^r1 + C2 e^r2 =2 - tfrac154 + tfrac14 e^-2 = -tfrac74 + tfrac14 e^-2 = e^-2-74
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -tfrac92, C1 e^r1+C2 e^r2 = dfrace^-2-74,
obtém-se
C1 = ,e^-2-7 + 18,e^r2, 4,(e^r1-e^r2), C2 = -tfrac92 - C1

Passo 7

Caso 2: y(0)=1 e y'(1)=1.
Em x=0 obtemos a mesma condição C1+C2=-tfrac92.
Calculamos y'(x):
y'(x)=C1 r1 e^r1 x + C2 r2 e^r2 x +l(x - tfrac52r) + tfrac12 e^-2x
Em x=1:
y'(1)=C1 r1 e^r1 + C2 r2 e^r2 +1 - tfrac52 + tfrac12 e^-2 = C1 r1 e^r1 + C2 r2 e^r2 - tfrac32 + tfrac12 e^-2
deve valer 1, logo
C1 r1 e^r1 + C2 r2 e^r2 =1 + tfrac32 - tfrac12 e^-2 = 5 - e^-22
O sistema
C1 + C2 = -tfrac92, C1 r1 e^r1 + C2 r2 e^r2 = dfrac5 - e^-22
C1 = ,5 - e^-2 + 9,r2 e^r2, 2,(r1 e^r1 - r2 e^r2), C2 = -tfrac92 - C1

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^-5+raiz172x + C2 e^-5-raiz172x -tfrac14 e^-2x +tfrac12 x^2 - tfrac52 x + tfrac234
com:
Caso 1 ( y(0)=1,;y(1)=2):
C1 = e^-2-7 + 18,e^r24,(e^r1-e^r2), C2 = -tfrac92 - C1
Caso 2 ( y(0)=1,;y'(1)=1):
C1 = 5 - e^-2 + 9,r2 e^r22,(r1 e^r1 - r2 e^r2), C2 = -tfrac92 - C1
onde r1 = tfrac-5+raiz172 e r2 = tfrac-5-raiz172.

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