Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
e depois:
Encontrar a solução complementar e provar que suas componentes formam um conjunto fundamental (ou seja, são linearmente independentes).
Determinar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.
Escrever a solução geral .
Impor as condições iniciais em dois casos diferentes e calcular as constantes de integração e .
Para isso vamos usar conteúdo de equações lineares de coeficientes constantes, raízes da equação característica, Wronskiano e método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolvemos a homogênea associada
pela equação característica
que tem raízes
Logo a solução complementar é
com e .
Passo 3
Prova de que é conjunto fundamental: calcule o Wronskiano
Como r1neq r2, temos W(x)neq 0 para todo x, provando a independência linear.]