Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime+9 y=cos (x)+2 cos (3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' + 9y = cos(x) + 2 cos(3x)
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução complementar (a solução da equação homogênea associada).
  2. Provar que essas soluções formam um conjunto fundamental de soluções.
  3. Encontrar a solução particular da equação completa.
  4. Combinar tudo para obter a solução geral.
  5. Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
y'' + 9y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt e substituímos na equação:
r^2 e^rt + 9 e^rt = 0 e^rt(r^2 + 9) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos:
r^2 + 9 = 0 r^2 = -9 r = pm 3i
Então, as raízes são complexas conjugadas r = 3i e r = -3i. A solução complementar é então:
yc(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)

Passo 3

Agora, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos mostrar que cos(3x) e sin(3x) são linearmente independentes.
Calculamos o Wronskiano das duas soluções:
W(y1, y2) = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) = cos(3x) cdot 3cos(3x) - sin(3x) cdot (-3sin(3x)) = 3cos^2(3x) + 3sin^2(3x) = 3(cos^2(3x) + sin^2(3x)) = 3(1) = 3 neq 0
Como o Wronskiano é diferente de zero, cos(3x) e sin(3x) são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
y'' + 9y = cos(x) + 2 cos(3x)
A solução particular será a soma das soluções particulares para cada termo do lado direito.
  1. Para cos(x):
Proponho uma solução da forma:
yp1(x) = A cos(x) + B sin(x)
Derivando:
yp1'(x) = -A sin(x) + B cos(x) yp1''(x) = -A cos(x) - B sin(x)
Substituindo na equação diferencial:
(-A cos(x) - B sin(x)) + 9(A cos(x) + B sin(x)) = cos(x) (-A + 9A)cos(x) + (-B + 9B)sin(x) = cos(x) 8A cos(x) + 8B sin(x) = cos(x)
Igualando os coeficientes:
8A = 1 Rightarrow A = 18 8B = 0 Rightarrow B = 0
Então,
yp1(x) = 18 cos(x)
  1. Para 2 cos(3x):
Aqui, notamos que cos(3x) já está na solução complementar, então precisamos multiplicar por x para evitar soluções triviais.
Proponho:
yp2(x) = x ( C cos(3x) + D sin(3x) )
Derivando:
yp2'(x) = C cos(3x) + D sin(3x) + x(-3C sin(3x) + 3D cos(3x)) yp2''(x) = -6C sin(3x) + 6D cos(3x) + x(-9C cos(3x) - 9D sin(3x))
Substituindo na equação diferencial:
y'' + 9y = cos(x) + 2 cos(3x) (-6C sin(3x) + 6D cos(3x)) + 9x(C cos(3x) + D sin(3x)) = 2 cos(3x)
Igualando os termos:
6D cos(3x) - 6C sin(3x) = 2 cos(3x)
Então,
6D = 2 Rightarrow D = 13 -6C = 0 Rightarrow C = 0
Portanto,
yp2(x) = 13 x sin(3x)
  1. Solução Particular Total:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 18 cos(x) + 13 x sin(3x)

Passo 5

Agora, combinamos a solução complementar com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 18 cos(x) + 13 x sin(3x)

Passo 6

Vamos aplicar as primeiras condições iniciais:
  • Quando x = 0, y = 1.
  • Quando x = 1, y = 2.
Primeira Condição: x = 0, y = 1
Substituindo na solução geral:
1 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 18 cos(0) + 13 cdot 0 cdot sin(0) 1 = C1 (1) + C2 (0) + 18 (1) + 0 1 = C1 + 18 C1 = 1 - 18 C1 = 78
Segunda Condição: x = 1, y = 2
Substituindo:
2 = 78 cos(3) + C2 sin(3) + 18 cos(1) + 13 cdot 1 cdot sin(3) 2 = 78 cos(3) + (C2 + 13) sin(3) + 18 cos(1)
Neste ponto, temos uma equação com uma incógnita C2. Para resolver, isolamos C2:
C2 + 13 = 2 - 78 cos(3) - 18 cos(1)sin(3) C2 = 2 - 78 cos(3) - 18 cos(1)sin(3) - 13
Então, a solução com as constantes determinadas é:
y(x) = 78 cos(3x) + ( 2 - 78 cos(3) - 18 cos(1)sin(3) - 13 ) sin(3x) + 18 cos(x) + 13 x sin(3x)

Passo 7

Agora, vamos aplicar as segundas condições iniciais:
  • Quando x = 0, y = 1.
  • Quando x = 1, y' = 1.
Primeira Condição: x = 0, y = 1
Já resolvemos e encontramos C1 = 78.
Segunda Condição: x = 1, y' = 1
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
y'(x) = -3C1 sin(3x) + 3C2 cos(3x) - 18 sin(x) + 13 sin(3x) + 13 cdot 3x cos(3x) = -3C1 sin(3x) + 3C2 cos(3x) - 18 sin(x) + 13 sin(3x) + x cos(3x)
Substituindo x = 1 e y' = 1:
1 = -3 cdot 78 sin(3) + 3C2 cos(3) - 18 sin(1) + 13 sin(3) + 1 cdot cos(3) 1 = -218 sin(3) + 3C2 cos(3) - 18 sin(1) + 13 sin(3) + cos(3)
Isolando C2:
3C2 cos(3) = 1 + 218 sin(3) + 18 sin(1) - 13 sin(3) - cos(3) C2 = 1 + 218 sin(3) + 18 sin(1) - 13 sin(3) - cos(3)3 cos(3)
Então, a solução com as constantes determinadas é:
y(x) = 78 cos(3x) + ( 1 + 218 sin(3) + 18 sin(1) - 13 sin(3) - cos(3)3 cos(3) ) sin(3x) + 18 cos(x) + 13 x sin(3x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 78 cos(3x) + ( 2 - 78 cos(3) - 18 cos(1)sin(3) - 13 ) sin(3x) + 18 cos(x) + 13 x sin(3x)
quando aplicadas as condições iniciais (x=0; y=1) e (x=1; y=2), e
y(x) = 78 cos(3x) + ( 1 + 218 sin(3) + 18 sin(1) - 13 sin(3) - cos(3)3 cos(3) ) sin(3x) + 18 cos(x) + 13 x sin(3x)
quando aplicadas as condições iniciais (x=0; y=1) e (x=1; y' =1).

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