Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar:
Encontrar a solução complementar (a solução da equação homogênea associada).
Provar que essas soluções formam um conjunto fundamental de soluções.
Encontrar a solução particular da equação completa.
Combinar tudo para obter a solução geral.
Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são complexas conjugadas e . A solução complementar é então:
Passo 3
Agora, vamos provar que as soluções complementares formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, precisamos mostrar que e são linearmente independentes.
Calculamos o Wronskiano das duas soluções:
Como o Wronskiano é diferente de zero, cos(3x) e sin(3x) são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
y'' + 9y = cos(x) + 2 cos(3x)
A solução particular será a soma das soluções particulares para cada termo do lado direito.
Para cos(x):
Proponho uma solução da forma:
yp1(x) = A cos(x) + B sin(x)
Derivando:
yp1'(x) = -A sin(x) + B cos(x) yp1''(x) = -A cos(x) - B sin(x)