Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( x=0 ; y=1 e x=1 y=2) e ( x=0 ; y=1 e x=1 y^prime=1 ).
y^prime prime-16 y=5 e^4 x+2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não–homogênea
y'' - 16,y = 5,e^4x + 2,e^x,
determinando primeiro a solução complementar (homogênea), provando que suas duas soluções formam um conjunto fundamental (isto é, têm Wronskiano não nulo), depois encontrando uma solução particular por coeficientes a determinar e, por fim, impondo as condições iniciais nos dois casos dados para achar as constantes de integração.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 16,y = 0
A equação característica é
r^2 -16 =0 Longrightarrow r = pm 4
Logo a solução complementar é
yc(x) = C1,e^4x + C2,e^-4x
O Wronskiano de e^4x,e^-4x é
W(x) = e^4x & e^-4x[6pt] 4,e^4x & -4,e^-4x =-4,e^4xe^-4x-4,e^4xe^-4x =-8neq 0,
portanto e^4x,e^-4x é conjunto fundamental de soluções.]

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo 5e^4x gera ressonância com e^4x, raiz simples, então assumimos
yp(x)=A,x,e^4x+B,e^x
Calculamos
yp' = A,e^4x+4A,x,e^4x+B,e^x, yp'' = 8A,e^4x+16A,x,e^4x+B,e^x
Substituindo em y''-16y
yp''-16,yp =l(8A,e^4x+16A,x,e^4x+B,e^xr) -16l(A,x,e^4x+B,e^xr) =8A,e^4x-15B,e^x
Queremos isso igual a 5e^4x+2e^x, daí
8A=5 Longrightarrow A=tfrac58, -15B=2 Longrightarrow B=-tfrac215

Passo 4

A solução geral é
y(x) = C1,e^4x + C2,e^-4x + 58,x,e^4x ;-;215,e^x

Passo 5

Condições do caso 1:
;x=0,;y(0)=1\u2003e\u2003 x=1,;y(1)=2.
Em x=0:
y(0)=C1+C2+0-tfrac215=1 Longrightarrow C1+C2=tfrac1715
Em x=1:
y(1)=C1e^4 + C2e^-4 + tfrac58e^4 - tfrac215e =2,
isto é,
C1,e^4 + C2,e^-4 =2 - 58e^4 + 215e
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac1715,[4pt] C1,e^4 + C2,e^-4 = 2 - tfrac58e^4 + tfrac215e,
obtemos
C1 = l(2 - tfrac58e^4 + tfrac215er) - tfrac1715,e^-4e^4 - e^-4, C2 = tfrac1715 - C1 ]

Passo 6

Condições do caso 2:
;x=0,;y(0)=1\u2003e\u2003 x=1,;y'(1)=1.
Em x=0 dá de novo C1+C2=17/15.
Calculamos
y'(x)=4C1e^4x-4C2e^-4x +tfrac58e^4x+tfrac52x,e^4x -tfrac215e^x
Em x=1:
4C1e^4 -4C2e^-4 +l(tfrac58+tfrac52r)e^4 -tfrac215e =1
Como tfrac58+tfrac52=tfrac258, o sistema é
C1 + C2 = tfrac1715,[4pt] 4C1e^4 -4C2e^-4 =1 - tfrac258e^4 + tfrac215e
Daí
C1 = 1 - tfrac258e^4 + tfrac215e + tfrac6815e^-4 4,(e^4+e^-4), C2 = tfrac1715 - C1 ]

Resposta

A solução geral é
boxed y(x) = C1,e^4x + C2,e^-4x + 58,x,e^4x -215,e^x,
com
Caso 1 ;(x=0,y=1;;x=1,y=2):
C1 = l(2 - tfrac58e^4 + tfrac215er) - tfrac1715,e^-4e^4 - e^-4, C2 = tfrac1715 - C1
Caso 2 ;(x=0,y=1;;x=1,y'=1):
C1 = 1 - tfrac258e^4 + tfrac215e + tfrac6815e^-4 4,(e^4+e^-4), C2 = tfrac1715 - C1

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