Determine as soluções gerais da Equações Diferenciais a seguir. Após a determinação das soluções complementares PROVE que estas fazem parte do conjunto fundamental de soluções e avalie os valores das constantes de integração para os casos em que ( e y=2) e ( e ).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não–homogênea
determinando primeiro a solução complementar (homogênea), provando que suas duas soluções formam um conjunto fundamental (isto é, têm Wronskiano não nulo), depois encontrando uma solução particular por coeficientes a determinar e, por fim, impondo as condições iniciais nos dois casos dados para achar as constantes de integração.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
Logo a solução complementar é
O Wronskiano de é
portanto e^4x,e^-4x é conjunto fundamental de soluções.]
Passo 3
Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo 5e^4x gera ressonância com e^4x, raiz simples, então assumimos