Determine as soluções gerais das seguintes equações:
y^prime prime+2 y^prime-5 y=e^-x sec (2 x) ;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' - 5y = e^-xsec(2x)
Conteúdo: resolução de equação diferencial linear via soma da solução geral da homogênea e de uma particular. Vamos precisar de: (i) resolver a homogênea associada, (ii) aplicar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Estudamos primeiro a homogênea
y'' + 2y' -5y = 0
A equação característica é
r^2 +2r -5 = 0
r = -2 pm raiz4+202 = -1 pm raiz6
Logo duas soluções independentes são
y1(x) = e^(-1+raiz6)x, y2(x) = e^(-1-raiz6)x
Portanto
yh(x) = C1,e^(-1+raiz6)x + C2,e^(-1-raiz6)x

Passo 3

Para a parte particular usamos variação de parâmetros. O Wronskiano é
W(x) = y1 & y2 y1'& y2' = y1 y2';-;y1' y2 = -2raiz6;y1,y2
A fórmula dá funções u1,u2 tais que
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=e^-xsec(2x).

Passo 4

Substituindo y1,y2,g,W obtemos
u1'(x) = -e^(-1-raiz6)x,e^-xsec(2x)-2raiz6,y1y2 =e^-xsec(2x)2raiz6,y1 =e^-,raiz6,xsec(2x)2raiz6,
u2'(x) = e^(-1+raiz6)x,e^-xsec(2x)-2raiz6,y1y2 =-e^-xsec(2x)2raiz6,y2 =-e^raiz6,xsec(2x)2raiz6
Integramos formalmente
u1(x)=integral e^-,raiz6,xsec(2x)2raiz6,dx, u2(x)=-integral e^,raiz6,xsec(2x)2raiz6,dx
A solução particular fica
yp(x) = y1(x),u1(x)+y2(x),u2(x) =e^(-1+raiz6)x2raiz6integral e^-,raiz6,xsec(2x),dx -e^(-1-raiz6)x2raiz6integral e^,raiz6,xsec(2x),dx

Resposta

A solução geral é
boxed y(x) = C1,e^(-1+raiz6)x + C2,e^(-1-raiz6)x +e^(-1+raiz6)x2raiz6integral e^-,raiz6,xsec(2x),dx -e^(-1-raiz6)x2raiz6integral e^,raiz6,xsec(2x),dx

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