Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
e informa que
é uma solução. O objetivo é verificar isso e, a partir de
, encontrar outra solução
tal que
seja um conjunto de soluções linearmente independentes.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
, obtemos
Logo,
é de fato solução.
Passo 3
Para equações de Euler–Cauchy usamos a forma
. Substituindo em
, obtemos a equação característica
Passo 4
Resolvendo
achamos
e
. A raiz
gera a solução
já conhecida, e a raiz
gera a segunda solução
As funções
e
são linearmente independentes no intervalo considerado (por exemplo
), pois o Wronskiano não se anula.
Resposta
A segunda solução é
e
é um conjunto de soluções linearmente independentes.