Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto y1(x), y2(x) seja linearmente independente.
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=0, y1=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y'' + x y' - 4y = 0
e informa que y1(x)=x^2 é uma solução. O objetivo é verificar isso e, a partir de y1, encontrar outra solução y2 tal que y1,y2 seja um conjunto de soluções linearmente independentes.

Passo 2

Verificamos que y1(x)=x^2 satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1'(x) = 2x, y1''(x) = 2
Substituindo em x^2y'' + x y' - 4y, obtemos
x^2cdot 2 ;+; xcdot (2x) ;-; 4cdot x^2 =2x^2+2x^2-4x^2=0
Logo, y1(x)=x^2 é de fato solução.

Passo 3

Para equações de Euler–Cauchy usamos a forma y=x^m. Substituindo em x^2y''+xy'-4y=0, obtemos a equação característica
m(m-1)+m-4=0 Longrightarrow m^2-4=0

Passo 4

Resolvendo m^2-4=0 achamos m=2 e m=-2. A raiz m=2 gera a solução y1(x)=x^2 já conhecida, e a raiz m=-2 gera a segunda solução
y2(x)=x^-2
As funções x^2 e x^-2 são linearmente independentes no intervalo considerado (por exemplo x>0), pois o Wronskiano não se anula.

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=x^-2,
e y1(x)=x^2,,y2(x)=x^-2 é um conjunto de soluções linearmente independentes.

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