Q 27 Verifique diretamente (derivando) que:
integral 1raizx^2 pm a^2 d x=ln |x+raizx^2 pm a^2|+K;

Passo 1

O enunciado pede para verificar por diferenciação que
integral 1raizx^2pm a^2,dx = lnl|x+raizx^2pm a^2r| + K
O conteúdo necessário é a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e de raiz quadrada.

Passo 2

Defina
F(x) = lnl|x+raizx^2pm a^2r|
Para obter F'(x), note que
u(x) = x + raizx^2pm a^2 Longrightarrow F'(x) = u'(x)u(x)
Agora calcule
u'(x) = 1 + ddxraizx^2pm a^2 = 1 + xraizx^2pm a^2

Passo 3

Substituindo em F'(x), temos
F'(x) = 1 + xraizx^2pm a^2,x+raizx^2pm a^2, = raizx^2pm a^2+xraizx^2pm a^2,x+raizx^2pm a^2, = 1raizx^2pm a^2
Logo, F'(x) coincide com o integrando.

Resposta

A diferenciação de lnl|x+raizx^2pm a^2r| produz dfrac1raizx^2pm a^2, confirmando a fórmula do integral.

Exercícios relacionados