Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de ordem quatro
O que se pede:
- Determinar as soluções (ou seja, a solução geral).
- Propor valores iniciais que determinem unicamente a solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma EDO linear de coeficientes constantes, de ordem
. - O termo não-homogêneo é
, que pode ser expandido em série de potências para :
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Método (explicação didática): para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a substituição
. Substituindo obtemos a equação característica
Agora resolvemos a equação algébrica. Fatores de
:
As raízes são
. Como queremos soluções reais, as raízes complexas conjugadas
geram as soluções reais
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. (Interpretação: sendo de ordem 4, a parte homogênea tem quatro constantes livres.)
Passo 3
Escolha do método para encontrar uma particular
: o termo não-homogêneo
não é do tipo polinomial/exponencial/seno/cosseno que und. coefficients resolve facilmente, então usamos série de potências ao redor de
(método prático e direto). Justificação:
tem série de potências convergente para
; podemos procurar
também como série de potências válida na mesma região.
Assumimos uma série
Calculamos a quarta derivada série:
Reindexando com
obtemos
Passo 4
Agora igualamos coeficientes na equação
. Escrevemos a série de
como
onde
e para
Substituindo as séries em
e comparando coeficientes de
obtemos, para todo
,
Isolando
,
Interpretação didática: esta relação recursiva expressa os coeficientes de maior ordem em termos dos de ordem menor e dos coeficientes
da série do termo não-homogêneo. Os coeficientes iniciais
aparecem livres nesta recursão — isso corresponde às quatro constantes livres da solução homogênea. Para construir uma particular qualquer, basta escolher valores específicos para
; uma escolha natural é
, o que fornece uma particular que não contém termos da solução homogênea.
Passo 5
Calculemos alguns coeficientes da série para a escolha particular
(assim obtemos uma
explícita por séries):
- Para
: então
- Para
: , então
- Para
: , então
- Para
: , então
- Para
: , então
Assim os primeiros termos não nulos de
(com a escolha
) são
onde os coeficientes seguem a recorrência dada anteriormente. Essa série converge pelo menos para
.
Passo 6
Juntando homogênea e particular, a solução geral da EDO é
onde
é a série de potências determinada pelo sistema recursivo
com
. A parte homogênea contém as quatro constantes arbitrárias
.
Sobre valores iniciais que determinam unicamente a solução (explicação didática): por ser uma EDO linear de ordem
, precisamos de quatro condições iniciais independentes para fixar as quatro constantes
. Uma escolha padrão que sempre funciona é especificar
com valores numéricos dados
. Substituindo
e derivadas na expressão geral obtém-se um sistema linear
em
que tem solução única porque as funções
são linearmente independentes (Wronskiano não nulo). Exemplo concreto: escolher
determina de forma única
e, portanto, uma única solução completa
.
Resposta
onde
tem coeficientes dados pela recorrência
por exemplo com
obtém-se a particular
Valores iniciais que determinam unicamente a solução: especificar
(ou, como exemplo concreto,
).