Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
y^{(4)}-y=\ln (1+x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de ordem quatro
y^{(4)}-y=\ln(1+x)
O que se pede:
  • Determinar as soluções (ou seja, a solução geral).
  • Propor valores iniciais que determinem unicamente a solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear de coeficientes constantes, de ordem 4.
  • O termo não-homogêneo é \ln(1+x), que pode ser expandido em série de potências para |x|<1:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}x^{n}.
A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y^{(4)}-y=0.
Método (explicação didática): para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a substituição y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{4}-1=0.
Agora resolvemos a equação algébrica. Fatores de r^{4}-1:
r^{4}-1=(r^{2}-1)(r^{2}+1)=(r-1)(r+1)(r-i)(r+i).
As raízes são r=1,\;-1,\;i,\;-i. Como queremos soluções reais, as raízes complexas conjugadas i,-i geram as soluções reais \cos x e \sin x. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias. (Interpretação: sendo de ordem 4, a parte homogênea tem quatro constantes livres.)

Passo 3

Escolha do método para encontrar uma particular y_{p}: o termo não-homogêneo \ln(1+x) não é do tipo polinomial/exponencial/seno/cosseno que und. coefficients resolve facilmente, então usamos série de potências ao redor de x=0 (método prático e direto). Justificação: \ln(1+x) tem série de potências convergente para |x|<1; podemos procurar y_{p} também como série de potências válida na mesma região.
Assumimos uma série
y_{p}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Calculamos a quarta derivada série:
y_{p}^{(4)}(x)=\sum_{n=4}^{\infty}n(n-1)(n-2)(n-3)\,a_{n}\,x^{\,n-4}.
Reindexando com m=n-4 obtemos
y_{p}^{(4)}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)\,a_{m+4}\,x^{m}.

Passo 4

Agora igualamos coeficientes na equação y^{(4)}-y=\ln(1+x). Escrevemos a série de \ln(1+x) como
\ln(1+x)=\sum_{m=0}^{\infty}b_{m}x^{m},
onde b_{0}=0 e para m\ge 1
b_{m}=\frac{(-1)^{\,m+1}}{m}.
Substituindo as séries em y^{(4)}-y=\ln(1+x) e comparando coeficientes de x^{m} obtemos, para todo m\ge 0,
(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)\,a_{m+4}-a_{m}=b_{m}.
Isolando a_{m+4},
a_{m+4}=\frac{a_{m}+b_{m}}{(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)}\qquad (m\ge 0).
Interpretação didática: esta relação recursiva expressa os coeficientes de maior ordem em termos dos de ordem menor e dos coeficientes b_{m} da série do termo não-homogêneo. Os coeficientes iniciais a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} aparecem livres nesta recursão — isso corresponde às quatro constantes livres da solução homogênea. Para construir uma particular qualquer, basta escolher valores específicos para a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}; uma escolha natural é a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=0, o que fornece uma particular que não contém termos da solução homogênea.

Passo 5

Calculemos alguns coeficientes da série para a escolha particular a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=0 (assim obtemos uma y_{p} explícita por séries):
  • Para m=0: b_{0}=0 então
a_{4}=\frac{a_{0}+b_{0}}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=0.
  • Para m=1: b_{1}=1, então
a_{5}=\frac{a_{1}+b_{1}}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\frac{1}{120}.
  • Para m=2: b_{2}=-\tfrac{1}{2}, então
a_{6}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{6\cdot5\cdot4\cdot3}=-\frac{1}{720}.
  • Para m=3: b_{3}=\tfrac{1}{3}, então
a_{7}=\frac{\tfrac{1}{3}}{7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac{1}{2520}.
  • Para m=4: b_{4}=-\tfrac{1}{4}, então
a_{8}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=-\frac{1}{6720}.
Assim os primeiros termos não nulos de y_{p} (com a escolha a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=0) são
y_{p}(x)=\frac{1}{120}x^{5}-\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{2520}x^{7}-\frac{1}{6720}x^{8}+\cdots,
onde os coeficientes seguem a recorrência dada anteriormente. Essa série converge pelo menos para |x|<1.

Passo 6

Juntando homogênea e particular, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x+y_{p}(x),
onde y_{p}(x) é a série de potências determinada pelo sistema recursivo
a_{m+4}=\frac{a_{m}+b_{m}}{(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)},\qquad b_{0}=0,\; b_{m}=\frac{(-1)^{m+1}}{m}\\ (m\ge1),
com y_{p}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}. A parte homogênea contém as quatro constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}.
Sobre valores iniciais que determinam unicamente a solução (explicação didática): por ser uma EDO linear de ordem 4, precisamos de quatro condições iniciais independentes para fixar as quatro constantes C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}. Uma escolha padrão que sempre funciona é especificar
y(0)=y_{0},\qquad y'(0)=y_{1},\qquad y''(0)=y_{2},\qquad y^{(3)}(0)=y_{3},
com valores numéricos dados y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}. Substituindo x=0 e derivadas na expressão geral obtém-se um sistema linear 4\times4 em C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} que tem solução única porque as funções e^{x},e^{-x},\cos x,\sin x são linearmente independentes (Wronskiano não nulo). Exemplo concreto: escolher
y(0)=0,\qquad y'(0)=0,\qquad y''(0)=0,\qquad y^{(3)}(0)=0
determina de forma única C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} e, portanto, uma única solução completa y(x).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x+y_{p}(x),
onde y_{p}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} tem coeficientes dados pela recorrência
a_{m+4}=\frac{a_{m}+b_{m}}{(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)},\quad b_{0}=0,\; b_{m}=\frac{(-1)^{m+1}}{m}\\ (m\ge1),
por exemplo com a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=0 obtém-se a particular
y_{p}(x)=\frac{1}{120}x^{5}-\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{2520}x^{7}-\frac{1}{6720}x^{8}+\cdots.
Valores iniciais que determinam unicamente a solução: especificar
y(0)=y_{0},\quad y'(0)=y_{1},\quad y''(0)=y_{2},\quad y^{(3)}(0)=y_{3}
(ou, como exemplo concreto, y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0).

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