Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) determinar as soluções da equação (ou seja, a solução geral da EDO não homogênea) e (ii) propor valores iniciais que determinem unicamente a solução. Informações relevantes: a equação é linear com coeficientes constantes e tem derivadas até a terceira ordem (logo a solução geral terá três constantes arbitrárias).
Passo 2
Vamos começar encontrando a solução da equação homogênea associada. A homogênea é
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos o polinómio característico. Substituímos
para obter o polinómio
Fatorando este polinómio obtemos
Portanto as raízes são
,
e
, todas simples.
Passo 3
A partir das raízes simples
sabemos que a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas. Logo a solução homogênea
é
onde
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz
simples gera uma solução
; se a raiz fosse de multiplicidade
geraríamos termos
para
.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Observação importante: o lado direito é
. Como
é raiz do característico (multiplicidade
), a forma-base
ressoa com a homogênea; por isso multiplicamos a tentativa por
. Assim propomos
onde
é constante a determinar. Raciocínio: se
for solução da homogênea com multiplicidade
, tentamos
.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
. Use regra do produto repetidamente.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Substituímos
no lado esquerdo da equação diferencial e simplificamos:
Começando por montar a combinação
Colocando
em evidência:
Agora simplificamos o que está entre parênteses:
Assim obtemos
Como a equação exige que isso seja igual a
, temos
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
Somando homogênea e particular obtemos a solução geral da EDO não homogênea:
com
.
Passo 8
Agora proponho valores iniciais que determinem unicamente a solução. Como a equação é de terceira ordem, são necessárias três condições iniciais no mesmo ponto
, por exemplo em
. Mostro como qualquer tripla
determina unicamente
.
Calculemos
em
a partir da forma geral. Já temos
.
Derivadas (já usadas anteriormente para
; agora juntamos com termos da homogênea):
Avaliando em
(lembre que
):
Passo 9
Resolva o sistema linear para
. Subtraindo a segunda equação da terceira:
Logo
Em seguida, da segunda equação
E por fim da primeira equação
Isto mostra explicitamente como uma tripla
fixa unicamente
e portanto a solução única.
Passo 10
Como exemplo concreto de valores iniciais simples que determinam unicamente a solução, escolha
Com esses valores temos
A solução única correspondente é
Resposta
Valores iniciais que determinam unicamente a solução (por exemplo em
Exemplo concreto: para
a solução única é