Determine soluções para as seguintes EDOs de segunda ordem e proponha valores iniciais que determinem unicamente a solução.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=e^{x},
e pede duas coisas: (i) determinar as soluções da equação (ou seja, a solução geral da EDO não homogênea) e (ii) propor valores iniciais que determinem unicamente a solução. Informações relevantes: a equação é linear com coeficientes constantes e tem derivadas até a terceira ordem (logo a solução geral terá três constantes arbitrárias).

Passo 2

Vamos começar encontrando a solução da equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos o polinómio característico. Substituímos y=\mathrm{e}^{rx} para obter o polinómio
r^{3}-3r^{2}+2r=0.
Fatorando este polinómio obtemos
r(r^{2}-3r+2)=r(r-1)(r-2)=0.
Portanto as raízes são r=0, r=1 e r=2, todas simples.

Passo 3

A partir das raízes simples 0,1,2 sabemos que a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas. Logo a solução homogênea y_{h} é
y_{h}=C_{1}\cdot \mathrm{e}^{0\cdot x}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz r simples gera uma solução \mathrm{e}^{rx}; se a raiz fosse de multiplicidade m geraríamos termos x^{k}\mathrm{e}^{rx} para k=0,\dots,m-1.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=e^{x}.
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Observação importante: o lado direito é \mathrm{e}^{x}. Como r=1 é raiz do característico (multiplicidade 1), a forma-base \mathrm{e}^{x} ressoa com a homogênea; por isso multiplicamos a tentativa por x. Assim propomos
y_{p}=A x \mathrm{e}^{x},
onde A é constante a determinar. Raciocínio: se e^{ax} for solução da homogênea com multiplicidade m, tentamos x^{m}(\text{polinômio})\mathrm{e}^{ax}ô.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p}. Use regra do produto repetidamente.
Primeira derivada:
y_{p}'=A\frac{d}{dx}\big(x\mathrm{e}^{x}\big)=A\big(\mathrm{e}^{x}\cdot x + \mathrm{e}^{x}\cdot 1\big)=A\mathrm{e}^{x}(x+1).
Segunda derivada:
y_{p}''=A\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{x}(x+1)\big)=A\mathrm{e}^{x}(x+1)+A\mathrm{e}^{x}\cdot 1=A\mathrm{e}^{x}(x+2).
Terceira derivada:
y_{p}'''=A\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{x}(x+2)\big)=A\mathrm{e}^{x}(x+2)+A\mathrm{e}^{x}\cdot 1=A\mathrm{e}^{x}(x+3).

Passo 6

Substituímos y_{p}',y_{p}'',y_{p}''' no lado esquerdo da equação diferencial e simplificamos:
Começando por montar a combinação
y_{p}'''-3y_{p}''+2y_{p}'= A\mathrm{e}^{x}(x+3)-3A\mathrm{e}^{x}(x+2)+2A\mathrm{e}^{x}(x+1).
Colocando A\mathrm{e}^{x} em evidência:
y_{p}'''-3y_{p}''+2y_{p}'=A\mathrm{e}^{x}\big((x+3)-3(x+2)+2(x+1)\big).
Agora simplificamos o que está entre parênteses:
(x+3)-3(x+2)+2(x+1)=x+3-3x-6+2x+2=0\cdot x+(3-6+2)=-1.
Assim obtemos
y_{p}'''-3y_{p}''+2y_{p}'=-A\mathrm{e}^{x}.
Como a equação exige que isso seja igual a \mathrm{e}^{x}, temos
-A\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\quad\Rightarrow\quad A=-1.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}=-x\mathrm{e}^{x}.
Somando homogênea e particular obtemos a solução geral da EDO não homogênea:
y(x)=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^{x},
com C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.

Passo 8

Agora proponho valores iniciais que determinem unicamente a solução. Como a equação é de terceira ordem, são necessárias três condições iniciais no mesmo ponto x_{0}, por exemplo em x_{0}=0. Mostro como qualquer tripla
y(0)=y_{0},\qquad y'(0)=y_{1},\qquad y''(0)=y_{2}
determina unicamente C_{1},C_{2},C_{3}.
Calculemos y,y',y'' em x=0 a partir da forma geral. Já temos y(x)=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^{x}.
Derivadas (já usadas anteriormente para y_{p}; agora juntamos com termos da homogênea):
y'(x)=C_{2}\mathrm{e}^{x}+2C_{3}\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}(x+1),
y''(x)=C_{2}\mathrm{e}^{x}+4C_{3}\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}(x+2).
Avaliando em x=0 (lembre que \mathrm{e}^{0}=1):
y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}=y_{0},
y'(0)=C_{2}+2C_{3}-1=y_{1},
y''(0)=C_{2}+4C_{3}-2=y_{2}.

Passo 9

Resolva o sistema linear para C_{1},C_{2},C_{3}. Subtraindo a segunda equação da terceira:
(C_{2}+4C_{3}-2)-(C_{2}+2C_{3}-1)=2C_{3}-1=y_{2}-y_{1}.
Logo
2C_{3}=y_{2}-y_{1}+1\quad\Rightarrow\quad C_{3}=\frac{y_{2}-y_{1}+1}{2}.
Em seguida, da segunda equação
C_{2}=y_{1}+1-2C_{3}.
E por fim da primeira equação
C_{1}=y_{0}-C_{2}-C_{3}.
Isto mostra explicitamente como uma tripla \big(y_{0},y_{1},y_{2}\big) fixa unicamente C_{1},C_{2},C_{3} e portanto a solução única.

Passo 10

Como exemplo concreto de valores iniciais simples que determinam unicamente a solução, escolha
y(0)=0,\qquad y'(0)=0,\qquad y''(0)=0.
Com esses valores temos
C_{3}=\frac{0-0+1}{2}=\frac{1}{2},\qquad C_{2}=0+1-2\cdot\frac{1}{2}=0,\qquad C_{1}=0-0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
A solução única correspondente é
y(x)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^{x}.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^{x},\; C_{1},C_{2},C_{3}\in\mathbb{R}.\n
Valores iniciais que determinam unicamente a solução (por exemplo em x=0): y(0)=y_{0},\;y'(0)=y_{1},\;y''(0)=y_{2}, com
C_{3}=\frac{y_{2}-y_{1}+1}{2},\quad C_{2}=y_{1}+1-2C_{3},\quad C_{1}=y_{0}-C_{2}-C_{3}.
Exemplo concreto: para y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=0 a solução única é y(x)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^{x}.

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