Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial para resolver:
Esse exercício envolve equações diferenciais ordinárias, onde precisamos encontrar funções $ y(x) $ que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e possivelmente utilizar técnicas como separação de variáveis ou fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y^{\prime} $. Podemos escrever:
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2 x^{3} + 2 x^{2} y $ para obter $ y^{\prime} $:
Passo 3
Vamos simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Numerador: $ -2 x y (3 x + y) $
Denominador: $ 2 x^{2} (x + y) $
Então, a equação fica:
Passo 4
Observamos que a equação pode ser simplificada ainda mais. Vamos dividir numerador e denominador por $ x $:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Reescrevemos a equação como:
Vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $:
Passo 6
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda pode precisar de uma substituição para simplificar a integral. Vamos observar que $ 3x + y $ e $ x + y $ sugerem uma substituição:
Seja $ u = 3x + y $, então $ du = 3 dx + dy $.
No entanto, para simplificar, podemos usar frações parciais na integral:
Resolvendo para $ A $ e $ B $, encontramos $ A = 1 $ e $ B = 1 $. Então:
Passo 7
Integrando o lado direito:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Juntando as integrais:
Podemos reescrever isso de forma exponencial para simplificar:
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante.
Passo 9
Finalmente, expressamos a solução geral:
Ou, de forma mais simples:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.