Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial para resolver:
6 x^2 y + 2 x y^2 + (2 x^3 + 2 x^2 y) y^prime = 0
Esse exercício envolve equações diferenciais ordinárias, onde precisamos encontrar funções $ y(x) $ que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e possivelmente utilizar técnicas como separação de variáveis ou fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y^{\prime} $. Podemos escrever:
y^prime
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2 x^{3} + 2 x^{2} y $ para obter $ y^{\prime} $:
(2 x^3 + 2 x^2 y) y^prime = -6 x^2 y - 2 x y^2

Passo 3

Vamos simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Numerador: $ -2 x y (3 x + y) $
Denominador: $ 2 x^{2} (x + y) $
Então, a equação fica:
-2 x y (3 x + y)

Passo 4

Observamos que a equação pode ser simplificada ainda mais. Vamos dividir numerador e denominador por $ x $:
x

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Reescrevemos a equação como:
dydx = -y (3 x + y)x (x + y)
Vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $:
y

Passo 6

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda pode precisar de uma substituição para simplificar a integral. Vamos observar que $ 3x + y $ e $ x + y $ sugerem uma substituição:
Seja $ u = 3x + y $, então $ du = 3 dx + dy $.
No entanto, para simplificar, podemos usar frações parciais na integral:
3x + y
Resolvendo para $ A $ e $ B $, encontramos $ A = 1 $ e $ B = 1 $. Então:
x + y

Passo 7

Integrando o lado direito:
integral -1x dx = -ln |x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Juntando as integrais:
ln |y| + 13 ln |3x + y| = -ln |x| + C
Podemos reescrever isso de forma exponencial para simplificar:
|y| cdot |3x + y|^1/3 = K|x|
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante.

Passo 9

Finalmente, expressamos a solução geral:
y cdot (3x + y)^1/3 = Kx
Ou, de forma mais simples:
y (3x + y)^1/3 = Cx
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y cdot (3x + y)^1/3 = Cx
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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