Resolva utilizando frações parciais

Passo 1

A integral é integral x-1x^3+x^2-4x-4,dx. O conteúdo é decomposição em frações parciais e para isso primeiro precisamos fatorar o denominador.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio do denominador por agrupamento:
x^3+x^2-4x-4 = x^2(x+1)-4(x+1) = (x^2-4)(x+1)= (x+1)(x-2)(x+2)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais:
x-1(x+1)(x-2)(x+2) = Ax+1+Bx-2+Cx+2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-2)(x+2) obtemos
x-1 = A(x-2)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x-2)

Passo 4

Expandindo o lado direito e coletando termos em potências de x temos
A(x^2-4)+B(x^2+3x+2)+C(x^2-x-2)= (A+B+C)x^2+(3B-C)x+(-4A+2B-2C)
Igualando com x-1=0,x^2+1,x-1 geramos o sistema:
A+B+C=0, 3B-C=1, -4A+2B-2C=-1

Passo 5

Resolvendo o sistema, por exemplo substituindo C=-A-B nas outras equações, achamos
B=tfrac112, A=tfrac23, C=-tfrac34

Passo 6

Substituindo na integral original ela se torna
integral l(tfrac2/3x+1+tfrac1/12x-2-tfrac3/4x+2r)dx = tfrac23integraldxx+1+tfrac112integraldxx-2-tfrac34integraldxx+2
Integrando cada termo usando integraldxx-a=ln|x-a|, obtemos
23ln|x+1|+112ln|x-2|-34ln|x+2|+C

Resposta

23ln|x+1|+112ln|x-2|-34ln|x+2|+C

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