Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Dada a região
e
, calcule
através das mudanças de variáveis
e
.
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Dada a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral tripla sobre uma região $ E $ definida por algumas desigualdades envolvendo $ x $, $ y $ e $ z $. A função que vamos integrar é $ \frac{x - y + 2z}{x + y - 2z} $. Para facilitar a resolução, vamos usar uma mudança de variáveis: $ u = x - y + 2z $, $ v = x + y - 2z $ e $ w = z $. Assim, vamos transformar a integral original em termos dessas novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como essas mudanças de variáveis afetam os limites de integração. Vamos reescrever as desigualdades dadas:
Isso simplifica bastante a região $ E $ na nova coordenada, já que agora os limites são constantes.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa mudança de variáveis, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $, $ v $ e $ w $. Vamos resolver para $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ u $, $ v $ e $ w $:
Somando as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Sabemos que $ w = z $.
Então, temos:
Passo 4
Agora, montamos a matriz jacobiana:
O determinante desse jacobiano é:
Então, o valor absoluto do jacobiano é $ \frac{1}{2} $.
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculados, podemos reescrever a integral:
Como o jacobiano é $ \frac{1}{2} $, multiplicamos a função integranda por ele.
Passo 6
Vamos resolver a integral agora:
Primeiro, integramos em relação a $ w $. A função não depende de $ w $, então:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a $ v $:
Como $ \ln 1 = 0 $, ficamos com $ u \ln 2 $.
Passo 8
A integral agora fica:
Calculando a integral de $ u $ de 0 a 1:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{\ln 2}{4} $.