Avaliação 02 - Cálculo Diferencial e Integral II-2023
Engenharia de Controle e Automação - Prof. Dr. Lucas A. Caritá IFSP/SJC
Dada a região E: 0 <= x-y+2 z <= 1,1 <= x+y-2 z <= 2 e 0 <= z <= 1, calcule
integral triplaE x-y+2 zx+y-2 z d V
através das mudanças de variáveis u=x-y+2 z, v=x+y-2 z e w=z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral tripla sobre uma região $ E $ definida por algumas desigualdades envolvendo $ x $, $ y $ e $ z $. A função que vamos integrar é $ \frac{x - y + 2z}{x + y - 2z} $. Para facilitar a resolução, vamos usar uma mudança de variáveis: $ u = x - y + 2z $, $ v = x + y - 2z $ e $ w = z $. Assim, vamos transformar a integral original em termos dessas novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como essas mudanças de variáveis afetam os limites de integração. Vamos reescrever as desigualdades dadas:
0 <= u <= 1
1 <= v <= 2
0 <= w <= 1
Isso simplifica bastante a região $ E $ na nova coordenada, já que agora os limites são constantes.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa mudança de variáveis, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $, $ v $ e $ w $. Vamos resolver para $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ u $, $ v $ e $ w $:
x
y
z
Somando as duas primeiras equações:
u
Subtraindo a primeira da segunda:
v
Sabemos que $ w = z $.
Então, temos:
w

Passo 4

Agora, montamos a matriz jacobiana:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 0 0 & 0 & 1
O determinante desse jacobiano é:
|J| = | 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 0 0 & 0 & 1 | = (12 cdot 12 - (-12) cdot 12) cdot 1 = (14 + 14) = 12
Então, o valor absoluto do jacobiano é $ \frac{1}{2} $.

Passo 5

Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculados, podemos reescrever a integral:
integral triplaE uv dV = integral0^1 integral1^2 integral0^1 uv cdot |12| dw , dv , du
Como o jacobiano é $ \frac{1}{2} $, multiplicamos a função integranda por ele.

Passo 6

Vamos resolver a integral agora:
integral0^1 integral1^2 integral0^1 uv cdot 12 , dw , dv , du
Primeiro, integramos em relação a $ w $. A função não depende de $ w $, então:
w
Então, a integral simplifica para:
w

Passo 7

Agora, integramos em relação a $ v $:
v
Como $ \ln 1 = 0 $, ficamos com $ u \ln 2 $.

Passo 8

A integral agora fica:
12 integral0^1 u ln 2 , du = ln 22 integral0^1 u , du
Calculando a integral de $ u $ de 0 a 1:
u

Passo 9

Substituindo de volta:
ln 22 cdot 12 = ln 24

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{\ln 2}{4} $.

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