Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos as soluções da equação:
2 x e^y - y sin x + (cos x - 2 + x^2 e^y) y' = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação dos termos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
M(x, y)
Comparando com a nossa equação:
N(x, y)
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0

Passo 3

Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos verificar isso:
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
y
Viu só? As duas derivadas parciais são iguais:
N
Isso confirma que a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, nosso próximo passo é encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
partial Fpartial x = M(x, y)
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
partial Fpartial y = N(x, y)
Integrando termo a termo:
M(x, y)
x

Passo 5

Agora, para encontrar $ h(y) $, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar à $ N(x, y) $:
h(y)
Simplificando:
F(x, y)
Isso nos dá:
y
Integrando em relação a $ y $:
N(x, y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
h(y)
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
F(x, y)

Resposta

As soluções da equação diferencial são dadas implicitamente por:
x^2 e^y + y (cos x - 2) = C
Onde $ C $ é uma constante real.

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