Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos as soluções da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver uma desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação dos termos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos verificar isso:
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Viu só? As duas derivadas parciais são iguais:
Isso confirma que a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, nosso próximo passo é encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, para encontrar $ h(y) $, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar à $ N(x, y) $:
Simplificando:
Isso nos dá:
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
Resposta
As soluções da equação diferencial são dadas implicitamente por:
Onde $ C $ é uma constante real.