Resolva a equação
, usando um fator integrante dependendo só de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem e o método do fator integrante. Precisamos achar um fator que depende só de
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão. Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação em termos de
e
:
Aqui,
e
. Para usar o fator integrante, precisamos verificar se a equação não é exata e encontrar um fator que dependa apenas de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar se a equação é exata:
Como
, precisamos de um fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
deve satisfazer a seguinte condição:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
. Integramos ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados:
Então, o fator integrante é:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a equação está exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
com
:
Logo:
Integrando:
Passo 10
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.