Resolva a equação y, usando um fator integrante dependendo só de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y + (2xy - e^-2y) dydx = 0. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem e o método do fator integrante. Precisamos achar um fator que depende só de y para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão. Vamos isolar dydx:
(2xy - e^-2y) dydx = -y
Dividindo ambos os lados por (2xy - e^-2y), temos:
dydx = -y2xy - e^-2y

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em termos de dx e dy:
y , dx + (2xy - e^-2y) dy = 0
Aqui, M = y e N = 2xy - e^-2y. Para usar o fator integrante, precisamos verificar se a equação não é exata e encontrar um fator que dependa apenas de y.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar se a equação é exata:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 2y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, precisamos de um fator integrante.

Passo 5

O fator integrante mu(y) deve satisfazer a seguinte condição:
mu'mu = partial Npartial x - partial Mpartial yM
Substituindo os valores que encontramos:
mu'mu = 2y - 1y

Passo 6

Vamos resolver essa equação para mu(y). Integramos ambos os lados:
ln mu = integral (2 - 1y) dy = 2y - ln y + C
Exponenciando ambos os lados:
mu(y) = e^2y cdot 1y
Então, o fator integrante é:
mu(y) = e^2yy

Passo 7

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(y):
e^2yy cdot y , dx + e^2yy cdot (2xy - e^-2y) dy = 0
Simplificando:
e^2y , dx + (2x e^2y - 1) dy = 0

Passo 8

Agora, a equação está exata. Vamos encontrar a função potencial F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = e^2y
Integrando em relação a x:
F(x, y) = e^2y x + g(y)

Passo 9

Calculamos a derivada parcial de F em relação a y e igualamos a partial Fpartial y com 2x e^2y - 1:
partial Fpartial y = 2e^2y x + g'(y) = 2x e^2y - 1
Logo:
g'(y) = -1
Integrando:
g(y) = -y + C

Passo 10

Portanto, a função potencial é:
F(x, y) = e^2y x - y = C

Resposta

A solução geral da equação é e^2y cdot x - y = C, onde C é uma constante.

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