Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
(a) Justifique que para que uma equação diferencial M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 admita um fator integrante mu=mu(y), dependendo só de y, é necessário que Nx-MyM dependa só de y.
(b) Verifique que a equação
(3 y+y^2+(2+y) sen x) y^prime+y cos x=0
admite um fator integrante dependendo só de y, porém não admite um fator integrante que depende somente de x. Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos mostrar, no caso geral de
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
que, se existir um fator integrante mu=mu(y) que dependa só de y, então
partial N/partial x - partial M/partial yM
deve ser função apenas de y. Na parte (b) temos a equação
l(3y + y^2 + (2+y)sin xr),y' + ycos x = 0,
que reescrevemos em forma de diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e vamos verificar que admite fator integrante em y mas não em x, encontrar esse mu(y) e resolver a equação resultante exata.

Passo 2

Derivação da condição em (a). Suponha mu=mu(y). A forma multiplicada por mu fica
mu(y),M,dx + mu(y),N,dy = 0
Para ser exata precisamos
partialpartial yl(mu Mr) =partialpartial xl(mu Nr)
Como mu depende só de y,
mu' M + mu,My = mu,Nx Longrightarrow mu'mu =Nx - MyM
O lado esquerdo é função só de y, logo (Nx - My)/M também deve depender somente de y.

Passo 3

Reescrevendo a equação de (b) em forma diferencial:
(3y+y^2+(2+y)sin x),dy + ycos x,dx = 0,
logo identificamos
M(x,y)=ycos x, N(x,y)=3y+y^2+(2+y)sin x
Calculamos
My = cos x, Nx = (2+y)cos x,
e então
Nx - MyM =(2+y)cos x - cos xycos x =y+1y,
que é de fato função só de y.

Passo 4

Para ver que não existe fator integrante só em x, verificaríamos
My - NxN =cos x - (2+y)cos x3y+y^2+(2+y)sin x =-y+13y+y^2+(2+y)sin x,
que depende de x e de y. Logo não há mu(x).

Passo 5

Como l(Nx - Myr)/M=(y+1)/y, obtemos
mu(y) =exp!l(integral y+1y,dyr) =exp!l(y + ln|y|r) =y,e^y

Passo 6

Multiplicamos a forma original por mu(y)=y e^y, ficando
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy=0,
com
M^*=y e^ycdot ycos x = y^2 e^ycos x, N^*=y e^yl(3y+y^2+(2+y)sin xr)
Agora é exata: procuramos Phi(x,y) tal que
Phix=M^*. Integramos em x:
Phi(x,y) =integral y^2 e^ycos x,dx =y^2 e^ysin x + h(y)
Então
Phiy =e^y(y^2+2y)sin x + h'(y)
deve ser igual a N^*. Como
N^*=e^yl(y^3+3y^2 + (y^2+2y)sin xr),
vemos que
h'(y)=e^y(y^3+3y^2),
cuja integral é
h(y)=integral (y^3+3y^2)e^y,dy =y^3e^y + C
Portanto
Phi(x,y) =y^2 e^ysin x + y^3e^y =e^y y^2l(sin x + yr)

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
e^y y^2l(y+sin xr)=C,
onde C é constante arbitrária.

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