Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
(a) Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
(b) Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
, porém não admite um fator integrante que depende somente de
. Resolva a equação.
(a) Justifique que para que uma equação diferencial
(b) Verifique que a equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos mostrar, no caso geral de
que, se existir um fator integrante
que dependa só de
, então
deve ser função apenas de
. Na parte (b) temos a equação
que reescrevemos em forma de diferencial
e vamos verificar que admite fator integrante em
mas não em
, encontrar esse
e resolver a equação resultante exata.
Passo 2
Derivação da condição em (a). Suponha
. A forma multiplicada por
fica
Para ser exata precisamos
Como
depende só de
,
O lado esquerdo é função só de
, logo
também deve depender somente de
.
Passo 3
Reescrevendo a equação de (b) em forma diferencial:
logo identificamos
Calculamos
e então
que é de fato função só de
.
Passo 4
Para ver que não existe fator integrante só em
, verificaríamos
que depende de
e de
. Logo não há
.
Passo 5
Como
, obtemos
Passo 6
Multiplicamos a forma original por
, ficando
com
Agora é exata: procuramos
tal que
. Integramos em
:
Então
deve ser igual a
. Como
vemos que
cuja integral é
Portanto
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.