Exercício 2
No exercício use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
a) Plano dentro de um cilindro A porção do plano z=-x dentro do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da porção do plano z=-x que está sobre o cilindro x^2+y^2=4. O conteúdo é cálculo de área de superfície por parametrização, usando a fórmula
S=integral duplaDllvert rutimes rvrrvert,dA

Passo 2

Escolhemos como parâmetros (u,v) as próprias coordenadas x e y. Assim definimos a parametrização
r(u,v)=l(u,;v,;-ur),
com domínio
D=(u,v)mid u^2+v^2<=4

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o produto vetorial:
ru=(1,0,-1), rv=(0,1,0),
rutimes rv =det i& j& k1&0&-10&1&0 =(1,0,1),
llvert rutimes rvrrvert =raiz1^2+0^2+1^2 =raiz2

Passo 4

A área torna-se
S=integral duplaDraiz2,dA =raiz2integral duplaDdA,
e integral duplaDdA é simplesmente a área do disco de raio 2.

Passo 5

Em coordenadas polares (u,v)=(rcostheta,rsintheta) com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, temos
integral duplaDdA =integral0^2piintegral0^2r,dr,dtheta =picdot2^2=4pi
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S=raiz2cdot4pi=4piraiz2

Resposta

A área da porção do plano é 4piraiz2.

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