(1,0 ponto) Seja
contínua. Mostre que se
e
0 então
é limitada.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e satisfaz
Precisamos mostrar que existe uma constante
tal que
para todo
, ou seja, que
é limitada.
Passo 2
Pela definição de limite em
, existe
tal que, para todo
,
Analogamente, pela definição de limite em
, existe
tal que, para todo
,
Defina
Então, sempre que
, temos
.
Passo 3
O intervalo
é compacto e
é contínua, logo atinge máximo de valor absoluto nesse intervalo. Seja
que é finito por Teorema do Valor Extremal.
Passo 4
Basta escolher
De fato, se
então
, e se
então
. Assim,
para todo
.
Resposta
A função
é limitada, pois existe
com
para todo
.