(1,0 ponto) Seja f: R R contínua. Mostre que se lim x +infty f(x)=0 e lim x -infty f(x)= 0 então f é limitada.

Passo 1

O enunciado diz que fcolon RtoR é contínua e satisfaz
limxto+inftyf(x)=0 e limxto-inftyf(x)=0
Precisamos mostrar que existe uma constante K>0 tal que lvert f(x)rvert<= K para todo xinR, ou seja, que f é limitada.

Passo 2

Pela definição de limite em +infty, existe X1>0 tal que, para todo x>X1,
lvert f(x)rvert<1
Analogamente, pela definição de limite em -infty, existe X2>0 tal que, para todo x<-X2,
lvert f(x)rvert<1
Defina
R = maxX1,,X2
Então, sempre que lvert xrvert>R, temos lvert f(x)rvert<1.

Passo 3

O intervalo [-R,R] é compacto e f é contínua, logo atinge máximo de valor absoluto nesse intervalo. Seja
M = maxxin[-R,R]lvert f(x)rvert,
que é finito por Teorema do Valor Extremal.

Passo 4

Basta escolher
K = max1,,M
De fato, se lvert xrvert>R então lvert f(x)rvert<1<= K, e se lvert xrvert<= R então lvert f(x)rvert<= M<= K. Assim, lvert f(x)rvert<= K para todo xinR.

Resposta

A função f é limitada, pois existe K=max1,M com lvert f(x)rvert<= K para todo xinR.

Exercícios relacionados