Determine as soluções das seguintes equações integrais:
y^prime(t)=sen t+integral0^t y(t-u) cos u d u, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução da equação integral com convolução y'(t)=sin t+integral0^ty(t-u)cos u,du, sujeita a y(0)=0. O conteúdo principal envolve o uso da transformada de Laplace e a propriedade de convolução para converter a equação em domínio de Laplace e resolver.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, definindo Y(s)=Ly(t). Usamos que
Ly'(t)=sY(s)-y(0)=sY(s)
Lsin t=1s^2+1
e, pela propriedade de convolução,
Lintegral0^ty(t-u)cos u,du=Y(s)cdot ss^2+1.

Passo 3

No domínio de Laplace obtemos a equação algébrica
sY(s)=1s^2+1+Y(s)ss^2+1.
Fatoramos Y(s):
Y(s)l(s-ss^2+1r)=1s^2+1
Y(s)s^3s^2+1=1s^2+1
Rightarrow Y(s)=1s^3.

Passo 4

Finalmente, fazemos a transformada inversa de Laplace:
y(t)=L^-11s^3=t^22

Resposta

y(t)=t^22

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