Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema massa-mola-amortecedor! Nesse exercício, temos uma massa de 1 kg ligada a uma mola com constante elástica de 500 N/m e um amortecedor com coeficiente de 20 Ns/m. Vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais para encontrar as soluções desse sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como modelamos um sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve o movimento desse sistema é:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x(t) $ é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Vamos inserir os valores fornecidos na equação:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 20 $, e $ c = 500 $. Calculando o discriminante:
Passo 5
Como o discriminante é negativo ($ \Delta = -1600 $), as raízes são complexas. Vamos calcular:
Passo 6
Com as raízes complexas $ r = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo $ \alpha = -10 $ e $ \beta = 20 $:
Resposta
As soluções para o sistema massa-mola-amortecedor são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.