Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
m=1 kg, c=20 Ns / m e k=500 N / m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema massa-mola-amortecedor! Nesse exercício, temos uma massa de 1 kg ligada a uma mola com constante elástica de 500 N/m e um amortecedor com coeficiente de 20 Ns/m. Vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais para encontrar as soluções desse sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como modelamos um sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve o movimento desse sistema é:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x(t) $ é a posição da massa em função do tempo.

Passo 3

Vamos inserir os valores fornecidos na equação:
1 cdot d^2xdt^2 + 20 cdot dxdt + 500x = 0
Simplificando, temos:
d^2xdt^2 + 20 dxdt + 500x = 0

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
r^2 + 20r + 500 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 20 $, e $ c = 500 $. Calculando o discriminante:
a = 1

Passo 5

Como o discriminante é negativo ($ \Delta = -1600 $), as raízes são complexas. Vamos calcular:
De

Passo 6

Com as raízes complexas $ r = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação homogênea é:
r = alpha pm beta i
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo $ \alpha = -10 $ e $ \beta = 20 $:
x(t) = e^alpha t (C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t))

Resposta

As soluções para o sistema massa-mola-amortecedor são:
x(t) = e^-10t ( C1 cos(20t) + C2 sin(20t) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.

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