Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
e k
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema massa-mola-amortecedor juntos! O enunciado nos dá três valores: massa $ m = 1 kg $, coeficiente de amortecimento $ c = 40 Ns/m $ e constante da mola $ k = 400 N/m $. Vamos precisar usar a equação diferencial que descreve esse sistema e entender um pouco de física de vibrações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação diferencial para um sistema massa-mola-amortecedor:
Aqui, $ x(t) $ é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Substituindo os valores que temos na equação:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ x(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 40 $ e $ c = 400 $.
Passo 6
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta = 0 $, temos uma solução real dupla, o que indica um sistema criticamente amortecido.
Passo 7
Com $ \Delta = 0 $, as raízes são:
Então, temos uma raiz dupla $ r = -20 $.
Passo 8
A solução geral para a equação com raízes reais e iguais é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que seriam determinadas pelas condições iniciais (que não foram fornecidas aqui).
Resposta
A solução geral para o sistema massa-mola-amortecedor dado é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.