Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para:
m=1 kg, c=40 Ns / m e k =400 N / m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema massa-mola-amortecedor juntos! O enunciado nos dá três valores: massa $ m = 1 kg $, coeficiente de amortecimento $ c = 40 Ns/m $ e constante da mola $ k = 400 N/m $. Vamos precisar usar a equação diferencial que descreve esse sistema e entender um pouco de física de vibrações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação diferencial para um sistema massa-mola-amortecedor:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Aqui, $ x(t) $ é a posição da massa em função do tempo.

Passo 3

Substituindo os valores que temos na equação:
1 cdot d^2xdt^2 + 40 cdot dxdt + 400x = 0
Simplificando:
d^2xdt^2 + 40 dxdt + 400x = 0

Passo 4

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ x(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
x(t) = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 40 r e^rt + 400 e^rt = 0

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
r
Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 40r + 400 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = 40 $ e $ c = 400 $.

Passo 6

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta = 0 $, temos uma solução real dupla, o que indica um sistema criticamente amortecido.

Passo 7

Com $ \Delta = 0 $, as raízes são:
De
Então, temos uma raiz dupla $ r = -20 $.

Passo 8

A solução geral para a equação com raízes reais e iguais é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-20t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que seriam determinadas pelas condições iniciais (que não foram fornecidas aqui).

Resposta

A solução geral para o sistema massa-mola-amortecedor dado é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^-20t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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