Prove que o campo de forças
não é conservativo por duas maneiras: a) por meio do rotacional de
. b) Tente calcular uma função potencial
e observe as impossibilidades que aparecem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o campo de forças
não é conservativo de duas maneiras diferentes. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e propriedades como o rotacional e a existência de uma função potencial. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como calcular o rotacional e tentar encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função escalar $ V(x, y, z) $ tal que
. Além disso, uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional de
é zero, ou seja,
. Com isso em mente, vamos verificar o rotacional de
para ver se ele é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Substituindo os componentes de
:
Passo 4
Calculando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 5
Como o rotacional de
não é zero (
), podemos concluir que o campo
não é conservativo. Essa foi a primeira maneira de provar.
Passo 6
Agora, vamos tentar encontrar uma função potencial $ V(x, y, z) $ tal que
. Isso significa que:
Então, temos as equações:
Passo 7
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar a segunda equação
:
Então:
Mas isso é um problema, porque
depende de
, enquanto
deveria depender apenas de
e
. Isso indica que não existe uma função $ V $ que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 9
Além disso, da terceira equação
, concluímos que
não depende de
. Porém, já vimos que há uma inconsistência com a dependência de
e
na função
. Portanto, não é possível encontrar uma função potencial
que corresponda ao campo
.
Resposta
Concluímos que o campo de forças
não é conservativo, pois o seu rotacional é diferente de zero e não é possível encontrar uma função potencial $ V(x, y, z) $ que satisfaça
.