Prove que o campo de forças F=(y,-x, 0) não é conservativo por duas maneiras: a) por meio do rotacional de F. b) Tente calcular uma função potencial V(x, y, z) e observe as impossibilidades que aparecem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o campo de forças F = (y, -x, 0) não é conservativo de duas maneiras diferentes. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e propriedades como o rotacional e a existência de uma função potencial. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como calcular o rotacional e tentar encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função escalar $ V(x, y, z) $ tal que V(x, y, z) . Além disso, uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional de F = -nabla V é zero, ou seja, F. Com isso em mente, vamos verificar o rotacional de nabla times F = 0 para ver se ele é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F = (y, -x, 0). O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Substituindo os componentes de F:
nabla times F = ( partial 0partial y - partial (-x)partial z, partial ypartial z - partial 0partial x, partial (-x)partial x - partial ypartial y )

Passo 4

Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
partial 0partial y - partial (-x)partial z = 0 - 0 = 0
  1. Segunda componente:
partial ypartial z - partial 0partial x = 0 - 0 = 0
  1. Terceira componente:
partial (-x)partial x - partial ypartial y = -1 -1 = -2
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (0, 0, -2)

Passo 5

Como o rotacional de F não é zero ( nabla times F = (0, 0, -2) neq 0), podemos concluir que o campo F não é conservativo. Essa foi a primeira maneira de provar.

Passo 6

Agora, vamos tentar encontrar uma função potencial $ V(x, y, z) $ tal que V(x, y, z) . Isso significa que:
F = -nabla V
Então, temos as equações:
F = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) = (y, -x, 0)

Passo 7

Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
V(x, y, z) = integral y , dx = yx + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que pode depender de y e z.

Passo 8

Agora, vamos usar a segunda equação partial Vpartial y = -x:
partialpartial y (yx + g(y, z)) = x + partial gpartial y = -x
Então:
x + partial gpartial y = -x partial gpartial y = -2x
Mas isso é um problema, porque partial gpartial y depende de x, enquanto g deveria depender apenas de y e z. Isso indica que não existe uma função $ V $ que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 9

Além disso, da terceira equação partial Vpartial z = 0, concluímos que V não depende de z. Porém, já vimos que há uma inconsistência com a dependência de x e y na função g(y, z). Portanto, não é possível encontrar uma função potencial V(x, y, z) que corresponda ao campo F.

Resposta

Concluímos que o campo de forças F = (y, -x, 0) não é conservativo, pois o seu rotacional é diferente de zero e não é possível encontrar uma função potencial $ V(x, y, z) $ que satisfaça V(x, y, z) .

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