Determine as soluções dos sistemas lineares abaixo usando escalonamento.
\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y+z=-1 \\\\ 4 x-y-3 z=5 \\\\ -5 x+7 z=-11\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 3x - 2y + z = -1,\\\\ 4x - y - 3z = 5,\\\\ -5x + 7z = -11, \end{cases}
e pede para resolver por escalonamento. Vamos usar a primeira equação como pivô para eliminar x das outras duas.

Passo 2

Multiplicamos a equação (1) por \tfrac{4}{3} e subtraímos de (2), para eliminar x na segunda equação.
(4x - y - 3z)\;-\;\frac{4}{3}\,(3x - 2y + z) \;=\; 5 \;-\;\frac{4}{3}(-1).
Isso dá
\frac{5}{3}\,y \;-\;\frac{13}{3}\,z \;=\;\frac{19}{3},
e, ao multiplicar por 3, resulta na equação escalonada
5y - 13z = 19.

Passo 3

Multiplicamos a equação (1) por \tfrac{5}{3} e somamos a (3), para eliminar x na terceira equação.
(-5x + 7z)\;+\;\frac{5}{3}\,(3x - 2y + z) \;=\; -11 \;+\;\frac{5}{3}(-1).
Isso leva a
-5y + 13z = -19,
que é equivalente a
5y - 13z = 19,
ou seja, a mesma equação que obtivemos no Passo 2. Logo só temos uma equação não trivial em y e z.

Passo 4

Como as duas equações restantes são equivalentes, o sistema é indeterminado e tem infinitas soluções. Vamos tomar
z = t,\quad t\in\mathbb{R},
e resolver
5y - 13t = 19
para y. Assim
y = \frac{19 + 13t}{5}.

Passo 5

Agora substituímos y e z na equação (1) para achar x:
3x - 2\Bigl(\frac{19 + 13t}{5}\Bigr) + t = -1.
Reorganizando,
3x = -1 + \frac{2(19+13t)}{5} - t = \frac{33 + 21t}{5},
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x = \frac{11 + 7t}{5}.

Resposta

As soluções do sistema são
x = \frac{11 + 7t}{5},\quad y = \frac{19 + 13t}{5},\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

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